农夫与魔鬼

叶军

很久以前，有一名农夫不满于自己的辛苦和贫困，非常羡慕富有的人。一天，他正在抱怨上天对自己不公平，一个魔鬼出现在他的眼前，对农夫说：“我可以帮助你，看到前面那座桥了吗，你只要从桥上每走一次，你口袋里的钱就会增加一倍。但每次你也要付给我24英镑，你说如何？”农夫看了看自己口袋里的钱，不假思索地说：“每次给你24英镑，这算不了什么，我们开始吧！”可是农夫发现自己走了三次以后，他口袋里的钱已经付光了。问农夫身上原有多少钱？

分析1：反过来思考。第三次过桥前只有12英镑；第二次过桥前有（12+24） 2=18英镑；第一次过桥前有（18+24） 2=21英镑。即农夫身上原有21英镑。

分析2：用方程求解。设原有x英镑，则2[2（2x—24）—24] —24=0，解出x=21.

这个故事给我们的启示是：人不要贪得无厌，对他人的建议，不要盲目接受，要开动智慧，进行甄别，否则会造成失误。

这里有一个问题，值得同学们深入思考一下：①农夫身上的钱为何越来越少？②农夫身上有多少钱时，才能如愿以偿？③有没有介于中间的状态，即不赚也不亏？

我们用 表示第n次交易（“一次交易”就是：过一次桥，再给魔鬼24英镑）后农夫剩下的钱数， 表示原有的钱数，a表示每次付出的钱数，根据题意，

可能以上的讨论看起来繁琐，我们把它体现在图形上会一目了然。由于 =2 -a，我们把 看作自变量，把 看作 的函数，在平面上就是直线y=2x-a.如图，对于a右边的点（ >a），每次把 作为新的自变量得到 ，在图形中体现为不断向上的折线（请根据折线箭头的走向看图），表示 不断变大；类似地，

有了上面的讨论，我们开始提出的3个问题就很容易了，你能自己写出答案吗？

一次函数可以还可以解决如此有趣的问题，这是在课堂上始料未及的事情，“冰冷”的课堂知识，只要融入了有价值的思考，立刻就变得丰富、生动、有趣，这也是我们保持学习兴趣的秘诀之一。

类似于 =a +b（a、b是常数，且a≠0）的式子叫做“递归数列”，因为它反映的是序列{ }中前后两个数之间的关系：每个数都依赖于前面的数进行变化。线性递归是递归函数中的一种，它要求变量之间是一种“线性关系”。我们知道，所谓“线性”，就是一次式（想想“一次函数”的英文名是linear equation with one unknown，即“含有一个未知数的线性方程”），在本例中，我们涉及的是“一阶线性递归数列”，它可以用直线进行模拟，由于每次迭代都是把 作为新的自变量代入求值，因此直线y=x的作用就是提供这种代换——用 取代 的位置，从而计算 。我们很容易从图形看出序列{ }的增减性与初始值之间的关系。

现代数学中的一个分支：分形和混沌理论，就和迭代有着密不可分的联系。希望你好好学习，不久的将来就可以接触这些知识，用更高的眼光观察周围的世界。