查漏补缺之计数原理

童殷

从近几年的各地高考试题来看，高考对计数原理的要求文理科有所不同：理科主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理，以选择题、填空题为主，有时会将排列与组合跟其他知识结合作为选择题或填空题的压轴题；文科主要考查二项式定理，同样以选择题、填空题为主，但难度远远小于理科试题.

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1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

你知道分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别在什么地方吗？

作答：______________________

两者都是涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了.

2. 排列与组合

（1）你还记得排列数公式与组合数公式吗？

作答：______________________

（2）组合数公式有哪两个性质？

作答：______________________

（3）求排列与组合的方法有哪些？

作答：______________________

（1）排列数公式：A■■=n（n-1）…（n-m+1）=■，规定0！=1；组合数公式：C■■=■=■=■，由于0！=1，故C■■=1.

（2）C■■=C■■，该公式说明从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出n-m个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；C■■=C■■+C■■，该公式说明从a1，a2，…，a■中取出m个元素的组合数C■■可以分成两类：第一类含有元素a1，共C■■个；第二类不含有元素a1，共C■■个.

（3）分类法和分步法、插空法和捆绑法、选排问题先选后排法、特殊元素和特殊位置优先法、元素相同问题隔板法、正难则反法等.

3. 二项式定理

（1）通项公式是什么？

作答：______________________

（2）二项式系数的性质是什么？

作答：______________________

（1）通项公式是T■=Crnan-rbr（r=0，1，2，…，n），其中C■■叫做二项展开式第r+1项的二项式系数，二项式系数与a，b取值无关.

（2）①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C■■=C■■.

②增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项第■+1项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项第■项和第■项的二项式系数最大，且同时取最大值.

③各二项式系数的和：C■■+C■■+C■■+…+C■■=2n，其中C■■+C■■+…=C■■+C■■+…=2■，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2■. ■endprint