巧求最值

姜汀

【摘要】求最值是初中数学中的难点，也是近年来考试中的一个热点，在许多中考题、竞赛题中都有体现。笔者根据多年的教学经验，结合自己的教学体会，归纳出了几种求最值的类型，以供参考。

【关键词】初中数学 求最值

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0213-01

一、用配方法求二次函数，二次三项式的最值

例1.求二次函数y=-4x2+2x+的最值

解 对二次函数y=-4x2+2x+配方得 y=-4（x-）2+

因为-4（x-）2 ≤0 所以 当x=时，y最大 =

二、用一次函数的性质求最值

例2.已知非负实数a 、b、c满足条件3a+2b+C=4，2a+b+3c=5

设s=5a+4b+7c，求s的最大值与最小值

解： { 解得 {

把a、b的值代人s=5a+4b+7c得s=10c+2，由于a、b的非负性得1≤c≤

因为一次函数s=10c+2是增函数，所以当c=时S最大=14，当c=1时S最小=12

三、对分式的分子进行降幂化简求最值

例3.求分式的最小值

解 原式=

因为 =+2，所以当x=1时有最小值2，

于是有最大值，从而原式有最小值

四、用一元二次方程根的判别式求最值

例4.当x为实数时，求分式的最大值与最小值

解 设y=，因为≠0

所以把函数y=去分母并整理得到关于x的一元二次方程得

因为x为实数，所以△≥0，所以

所以

于是

解得-4≤y≤1， 所以 y最小=-4，y最大=1

五、用绝对值的意义求最值

例5.求的最小值

解 式子的几何意义就是数轴上表示数x的点与表示数-1、、的三点A、B、C的距离之和，由绝对值的意义知，只要在数轴上找一点，使得这一点（B点）到 A、B、C三点的距离之和最小，如图所示，

所以当时，y最小=

六、用完全平方式的非负性求最值

例6.已知x、y、z都是实数，且x2+y2+z2=1，求xy+yz+zx的最值。

解 因为（x+y+z）2= x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

而（x+y+z）2≥0 （是完全平方式的非负性），

故x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）≥0

于是1+2（xy+yz+zx）≥0 ，所以xy+yz+zx≥-

故xy+yz+zx 的最小值为-

又由（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2≥0 得2（x2+y2+z2）-2（xy+yz+zx） ≥0

所以xy+yz+zx≤1 （当且仅当x=y=z=时等号成立）

所以xy+yz+zx的最大值为1