探究函数性质的几个命题

厉晓灵

摘要：函数的奇偶性、周期性、对称性有密切的联系，可谓知二求一。本文探究了函数性质的几个命题。

关键词：函数    奇偶性    周期性

对称性

函数是高中数学的重点和难点，在高考中每年都占有一席之地，也一直是高中学生认为比较难学的内容。从现行的高中数学教材来看，函数y=f（x）的奇偶性、周期性、对称性等这一部分内容具有抽象性较强的特点，经常综合进行考查且容易出现难题。然而教材中涉及不深，仅仅介绍一些概念和简单的习题。在教学过程中，笔者在对一些函数问题的研究中发现了一些规律，做如下总结。

一、有关函数图像对称性判断的几个命题

在二次函数的学习中有如下命题。

定义在R上的二次函数y=f（x）满足

f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图像必关于直线x=a成轴对称。

推广：对于任意函数y=f（x），则有命题1：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2a-x），即f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图像必关于直线x=a对称。

命题2：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）= -f（2a-x），即f（a+x）=-f（a-x），则y=f（x）的图像必关于点（a，0）对称。

命题3：定义在R上的函数y=f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像本身是一个轴对称图形，关于直线对称，反之亦然。

命题4：定义在R上的函数y=f（x）满足f（a+x）= -f（b-x），则y=f（x）的图像本身是一个中心对称图形，对称中心是（，0），反之亦然。

二、有关函数周期性判断的几个命题

函数的周期性是函数的一个重要性质，学生在高中三角函数部分的学习中，学习余弦函数和正切函数的图像和性质时开始接触，并在有关三角函数习题的解题中大量应用。在此基础上，可推广到对一般的函数的研究中。

函数的周期性：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T） =f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，叫T做这个函数的一个周期。

函数的奇偶性：一般地，对于函数f（x），（1）如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。（2）如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

命题1：定义在R上的函数y=f（x）满足f（a+x）=-f（x），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期 T=2a。

命题2：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+a）=，（a≠0），则y=f（x） 必是周期函数，且其中的一个周期T=2a。

命题3：定义在R上的函数y=f（x）满足f（a+x）=，（a≠0），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=2a。

命题4：定义在R上的函数y=f（x）满足f（a+x）=，（其中a≠0，

f（x）≠1），则 y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=4a。

命题5： 定义在R上的函数y=f（x）满足 f（x+a）=f（x+b），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=a-b。

证明：∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）

∴y=f（x）为周期函数，且其中的一个周期T=a-b。

命题6：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且满足 f（x+a）=f（-x），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=a。

证明：∵y=f（x）是偶函数，

∴f（-x）=f（x），

又∵f（x+a）=f（-x）=f（x），∴y=f（x）为周期函数，且其中的一个周期T=a。

命题7：函数y=f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+a）=f（-x），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=2a。

命题8：函数y=f（x）是R上的偶函数，且满足 f（x+a）=f（b-x），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=a+b。

命题9：函数y=f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+a）=f（b-x），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=a+b。

证明：∵y=f（x）是奇函数，且

f（-x）= -f（x）。

∴f（x+a）=f（b-x）=f（x-b）

又f[x+（a+b）]=f[（x+b）+a]=f[（x+ b）-b]=f（x）

∴y=f（x）为周期函数，且其中的一个周期T=a+b。

（注意：命题中函数的周期未必是最小正周期。）

在上面的命题中，我们又可以发现，命题中同时出现了函数的奇偶性、对称性和周期性，因此得到下面情形。

三、探究新知，知二求一

以命题8为例，将命题变为三个条件：①函数y=f（x）是R上的偶函数，②满足f（x+a）=f（b-x），③函数y=f（x）是周期函数，且其中的一个周期T=a+b。

探究一：①② ③：

证明：∵y=f（x）是R上的偶函数， ∴f（-x）=f（x）

又f[x+（a+b）]=f[（x+b）+a]=f[b-（x-b）]=f（-x）=f（x）

∴y=f（x）为周期函数，且其中的一个周期T=a+b。

探究二：②③ ①：

证明：∵f（x+a）==

f（b-x）=

∴=f（a+b-x）

=f（x）

用-x代替上式中的x，则可得到f（a+b+x）=f（-x）

又∵函数y=f（x）是周期函数，且其中的一个周期T=a+b。

则f（a+b+x）=f（-x）=f（x），故函数y= f（x）是R上的偶函数。

探究三：①③ ②：

证明：∵f（a+b-x）=f（-x）=f（x），∴函数y=f（x）以直线为对称轴，∴f（x+a）== =f（b-x）。

通过以上证明得到，结论一：函数y=f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+a）=f（b-x），则y=f（x）必是周期函数，且其中的一个周期T=a+b。结论二：函数y=f（x）满足f（x+a）=f（b-x），且y=f（x）是周期函数，且其中的一个周期T=a+b，则f（x）是R上的偶函数。结论三：函数y=f（x）是R上的偶函数，且y=f（x）是周期函数，其中的一个周期T=a+b，则

f（x+a）=f（b-x）。

由此，我们可以得到：函数的奇偶性、对称性和周期性三者之间应该有紧密的联系，可谓“知二求一”。