电能去哪儿了

田玉刚

（宿迁市青华中学，江苏 宿迁 223800）

有这样一道题：如图1、图2所示电路中，电源电动势E相等，内阻不计，电容器的电容C相同.试比较从合上电键到电路稳定过程中两电源做功的大小.

图1

图2

解法Ⅱ：电容器两端的电压等于电源电动势，电容器的电量q＝CE，电源搬运的电量相同，且电路中电源电动势相同，由电功W＝qU可知，两电源做功相同，均为CE2.

似乎两种解法都有道理，可得出的结论却不一样.解法Ⅰ是通过对外电路的分析，得出图2中的电源做功多；解法Ⅱ直接从电源做功来分析，得出两电源做功相同的结论.到底哪个结论是正确的呢？

图1所示电路可以看作图2电路中电阻R＝0的情形，为了得到一般性结论，因此选择图2所示电路作一下计算.

（1）式改写为

将两边积分，得

即

其中A＝eC1.由初始条件，t＝0，uC＝0代入（5）式，解得A＝E，由此可得

两个电路的区别，在于图2电路中有电阻R，接下来计算电键接通后，电阻R上消耗的电热.由电容器求电路电流

（6）式代入（7）式，得

电阻R上的热功率为

（8）式代入（9）式，得

电阻R上消耗的电热，从电键接通开始一直到电路稳定，时间可视为无穷，有

（10）式代入（11）式，得

积分可得

由（13）式可知，从电键接通到电路稳定过程中，电路2中电阻产生的电热和阻值的大小无关，与电容存储的电场能相等，二者之和等于电源做的总功.图1电路中实际电路有电阻，无论电阻的大小则必定也消耗电源做功的一半，解法Ⅰ分析时把实际电路混为无电阻的理想电路，造成误解.

（注：能量的损失是在电路中从焦耳热以及电磁辐射方式发散了.这相当于电路中有一热电阻与一个等效辐射电阻，这两部分相当于一个总电阻R.）