几何概型常见题型归纳

聂森林

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解。^_^天体运动，万有引力定律核心考点研读■安徽

张北春（特级教师）

《天体运动、万有引力定律》是高中物理的重要章节。主要考点有：开普勒定律、天体运动、万有引力定律、估算天体的质量和密度、揭示天体运行规律等。近几年高考试题中的天体运动问题多为匀速圆周运动模型，大多数试题可直接运用开普勒第三定律进行分析或计算，有些试题则需运用牛顿第二定律与万有引力定律、“黄金代换”等分析计算。下面通过典型例题解读这些核心考点，希望对同学们的学习有所帮助。

考点1：开普勒定律

【考点研读】开普勒行星运动定律具体表述如下。第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

温馨提示：古人把天体的运动看得十分神圣，他们认为天体的运动不同于地面物体的运动，天体做的是最完美、最和谐的匀速圆周运动。开普勒则认为行星做椭圆运动。他发现假设行星做匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符，只有认为行星做椭圆运动，才能解释这一差别。

温馨提示：我们预期太阳对行星的引力与太阳到行星的距离有关，希望通过行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力求出这个引力，通过两次数学代换得到了太阳对行星的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；通过类比得到了行星对太阳的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；综合概括得到了太阳与行星间引力的数学表达式。

例2（2014年新课标全国卷I）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。对于地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（

）。

本題考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题。分析时应把行星绕太阳的椭圆运动简化为匀速圆周运动，抓住行星绕太阳做匀速圆周运动需要向心力，这个向心力是由太阳对行星的引力提供的。

例3 如图1所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（

）。

A.太阳对小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

温馨提示：圆周运动是天体主要的运行方式，天 体做圆周运动是万有引力提供向心力，地球绕太阳 运动如此，其他行星绕母星运动也是如此。

例6 （2014年北京卷）万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。

（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。