复变函数与积分变换的MATLAB解法与可视化的教学改革研究

2015-07-20 05:57
黑龙江教育·理论与实践 2015年1期
关键词:拉普拉斯傅里叶信号处理

王 璐

(黑龙江大学,黑龙江哈尔滨150080)

《复变函数与积分变换》课程是电子、通信、信号处理等理工科必修的基础课,数学理论的抽象和求解过程的烦琐,常常会使学生产生畏惧从而失去兴趣,使教学效果大打折扣,成为后续专业课程学习的“拦路虎”。本文讨论了利用MATLAB解决在《复变函数与积分变换》学习中遇到的一些问题。由于相关书籍大多只介绍MATLAB的基础用法,基础多而实际应用少,其中利用MATLAB求解复变函数和积分变换的研究就更少,本文的研究重点就在于此。利用MATLAB解决《复变函数与积分变换》中的问题,可以节省人力计算,提高学习效率。通过MATLAB将计算结果和复杂函数以图像的形式绘制出来,一方面有利于教学,另一方面可提高学生利用MATLAB编程的能力,为今后学习打下良好基础。

1 MATLAB求解复变函数

MATLAB提供了大量的数学函数,可大大减少手工计算量。复变函数求导,用到的函数是diff(function,’variable’,n),而复变函积分用到的函数是int(function,variable,a,b)。留数的计算可分为两类。第一类是指复变函数的分子和分母都是多项式的形式,函数命令为[R,P,K]=residue(B,A)。第二类指复变函数的分子和分母不是多项式的形式。例如:求f在点的留数。程序如下:

>>symsz

>>f=(z^2-exp(z))/(z^2-1)

>>r=limit((z-1)*f,z,1)

>>g=limit((z+1)*f,z,-1)

泰勒级数能够将解析函数展开成幂级数[3],这给解析函数的研究带来极大方便。例如:求的泰勒级数展开,z<1,程序如下:

>>symsz

>>f=1/(1-z);

>>taylor(f,10,z)

应用MATLAB的绘图功能可以方便而且直观地绘制图形,绘制复变函数图像的命令是plot()和ezplot()。例如:绘制复变函数z=t+ietsint的图像,程序如下(图像如x y 图1 所示):

>>symszt

>>t=0:0.01:2*pi;

>>x=t;

>>y=exp(t).*sin(t);

>>z=x+i*y;

>>plot(z);

勒让德函数的图像如图2所示,贝塞尔函数的图像如图3所示,诺依曼函数的图像如图4所示。

图1 复变函数z 的图像

图2 勒让德多项式的图像

图3 贝塞尔函数的图像

图4 诺依曼函数的图像

2 MATLAB求解傅里叶积分变换

傅里叶变换是信号处理等学科的基础,通过傅里叶变换可以获取信号的频谱信息,使频域信号处理更为方便和直观。MATLAB求傅里叶变换的函数格式为fourie(rf,u,v)。例如:求高斯分布函数的傅里叶变换,程序如下:

>>symsftwxF

>>f=(1/sqr(t2*pi))*exp(-t.^2)

>>F=fourie(rf)

>>symsftwxF

>>f=sin(t)(/pi*t)

>>F=fourie(rf,t)

>>F=-(pi*heaviside(-t-1)-pi*heaviside(1-t))/pi

图5 傅里叶变换前后对照图

3 MATLAB求解拉普拉斯积分变换

拉普拉斯变换在物理、力学以及工程技术中都有很广泛的应用,基本格式是。例如:求单位阶跃函数的象函数。程序如下(图像如图6 所示):

>>symsts

>>h=heaviside(t)

例如:求指数函数f(t)=4e2t,t>0的拉普拉斯变换,程序如下(图像如图7 所示):

>>symstfFp

>>f=heaviside(t)*4*exp(2*t);

图6 原函数h 的图像

图7 原函数f 的图像

本文研究了MATLAB在《复变函数与积分变换》中的典型应用,利用MATLAB简化繁琐的求解过程,并把求解结果用可视化、动态化的形式直观地表现出来,既能提高学生的学习兴趣,又有利于理解问题的本质以及解的意义。

[1]贺凯.MATLAB 在复变函数与积分变换中的应用[J].沙洲职业工学院学报,2006,(9).

[2]石博强,赵金.MATLAB 数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社,2005:181-182.

[3]周梦,高宗升.现代数学基础[M].北京:北京航空航天出版社,2008:55-57.

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