浅谈极限与连续概念的非标准陈述

张明会，高婷婷

(陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃 成县 742500)

浅谈极限与连续概念的非标准陈述

张明会，高婷婷

(陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃 成县 742500)

极限和连续是数学分析当中十分重要的两个概念，学生在初学时难以理解和正确把握，教师授课时也明显感觉到不易。借助于极限和函数连续两个概念的非标准陈述，对人们熟知的几个命题和定理给予全面阐述，使学生换一种思路和方法来深入理解这两个概念。

极限；连续；非标准陈述

1 非标准微积分简介

随着数理逻辑的发展，特别是元数学、证明论、模型论的异军突起，用数理逻辑的方法研究数学基础问题取得了前所未有的进展，一大批数理逻辑学家投身于不用极限方法，改用数理逻辑方法建立分析学的奠基工作。利用数理逻辑的方法，重新研究了牛顿-莱布尼茨方法中引进的无穷小元素，特别是20世纪60年代的美国数学家鲁滨逊，从建立在实数系上的数学命题出发，应用20世纪40年代在严格逻辑基础上建立的紧致性定理：“对形式语言中的任何一个公式集或者命题集A，若A得任何一个有穷子集A′皆有模型，则A必有模型”来研究无穷小量，对无穷小量的存在用数学方法给出了严格的证明，将标准实数域扩充为包含有“无限小”和“无限大”元素的非标准实数域R*,然后在R*上重新展开微积分的讨论，建立其全部数学分析理论，称之为非标准分析。

借助于数理逻辑形式语言可以严格地建立“转换原理”，其结论是：在一阶语言的框架内所表达的数学分析性质，在R和R*内是同真同假的。具体而言，就是当形式语言中两次的变化范围仅限于实数时，可以形式地把R和R*上的陈述互相转换而不改变其真假性。

2 极限的非标准陈述

证明必要性：

或者，对于ω∈R+，存在m∈N，下列语句：

充分性：令ω∈R+，因为对于所有无限自然数ω，都有xω≃A，xk-A是无限小，也即：

对应地，有：

在R上成立，由转换原理它在R*上也成立。

当x≃x0(x≠x0)，即x-x0是无限小，当然有0<|x-x0|<δ，故有|f(x)-A|<ε成立，由ε得任意性，即知：f(x)≃A。

在R上成立，由转换原理它在R*上也成立。

注：此命题也可以作为函数极限存在的非标准定义。

由数列极限与函数极限的非标准定义出发，类似地可以讨论极限所有性质的一系列非标准陈述。

3 函数连续的非标准陈述

命题1 设标准函数f(x)在标准点x0附近有定义，则f(X)在x0点连续的充分必要条件是：在R*上，对一切x≃x0均有f(x)≃⋍f(x0)。

证明是显然的，只要在函数极限的非标准陈述中，将A改成f(x0)就得到函数连续的非标准陈述。

运用函数连续的非标准(无限小)定义判断函数连续，非常方便。例如函数：

对于任何x∈m(0)，由于x≃0，而且|f(x)|<|x|，在R和R*上成立，于是f(x)≃0=f(0)。可知f(x)在x=0连续。

[1]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京：崇文书局，2003：5-60.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社,2001:1-50.

[3]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2003:20-98.

[4]马振华.离散数学导引[M].北京：清华大学出版社,2006:30-102.

[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002:48-87.

[6]马振民,吕克璞.微积分习题类型分析[M].兰州：兰州大学出版社，1999：32-93.

[7]张明会,高婷婷.恒等变换方法在数学分析中的应用[J].湖南工程学院学报，2011,(02):72-74.

[8]张明会,高婷婷.分割变换方法在数学分析中的应用[J].首都师范大学学报，2011：21(02)：72-74，91.

[9]华东师范大学数学系.数学分析习题集[M].北京：高等教育出版社,2001:15-66.

[责任编辑：郑秀亮 英文编辑：刘彦哲]

Non-Standard Statement of Limit and Continuous Concept

ZHANG Ming-hui，GAO Ting-ting

(School of Math and Communication, Longnan Normal College,Cheng County,Gansu 742500,China)

Limits and continuity are two important concepts in mathematical analysis.At the beginning of study students find it hard to understand and grasp correctly,and teachers also feel it not easy to teach.Based on the non-standard statement of limit and continuous function,we provide comprehensive explanation to several established propositions and theorems,so as to lead the students to further understand the two concepts in a new way.

limit；continuity；non standard statement

陇南师范高等专科学校校级科研项目(2014LSZK02001)；陇南师范高等专科学校校级教学改革项目(JXGG2013003,JXGG201413)

张明会(1981-)，男，甘肃康县人，陇南师范高等专科学校数信学院教师。

O

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.04.004

来稿日期：2014-03-09