“巧练”

孙家和

数学教学设计的核心是要充分展现和暴露思维过程，让学生在获得知识的同时掌握思维方法，发展思维品质。例题、习题是数学知识的载体，是数学思想方法的生长点。因此，教师应根据课堂教学内容的特点和学生的认知情况，选择具有典型性和针对性强的例题和练习题加以“巧练”。

那么，如何进行“巧练”呢？笔者认为“巧练”的原则有针对性原则、循序渐进原则和发展性原则。教师在讲解问题时应注重解法研究，挖掘隐藏于例题习题中的数学思想方法，总结通性通法，本文就此谈谈我的一些做法。

一、突出“针对性”原则，提高学生学习效率

俗话说的好：“兵不在多而在精”。作为教师，实施“巧练”应本着切实减轻学生负担的理念，摒弃题海战术，在选题和编题上下功夫，确保作业富有典型性、启发性，从而达到举一反三、事半功倍的作业效果。如在必修5《一元二次不等式的解法》教学后，我布置了如下作业：

解下列不等式：

（1）4x2-4x>15

（2）-x2-2x+8≥0

（3）x（x+2）

（4）已知不等式kx2-2x+6k<0 （k≠0）

①若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2}，求k的值；

②若不等式的解集是R，求k的值。

又如在学完《均值不等式》这一重要内容后，我选编了下面两题：

（1）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=1，求ax+by的最大值。

（2）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=16，x2+y2=36，求ax+by的最大值。

这两道姊妹题看似一样，但却是回味无穷的问题。第一题引导同学们至少得到三种解法，而第二题看似与第一题相同，但有一大半学生错误地求出答案是26。过程是：

因为ax≤ ，by≤

所以ax+by≤ =26。

这是错误的，让学生感到十分惊讶！因此，教师要有意识地设计一些有代表性的练习题，提高习题的针对性，在问题的解决中突破本节课的重难点，提高学习效率。

二、呈现“循序渐进”原则，面向全体学生

心理学研究表明学生之间是存在差异的，因而教师必须依据所教班级学生的实际情况，因材施教，在教学中采用低起点、多层次，渐提高的做法，使知识的发生、发展规律与学生的认知结构有机的结合起来，让各层次的学生在课堂内都能积极参与，学有所得，智力和能力得到发展。例如，在求参数取值范围的复习中，我选用了下面的例题。

例1：已知方程2sin2x-（6m+1）sinx+3（3m-1）=0有实根，求实数m的取值范围？

本题给出后，基础较弱的学生由△≥0求得m的取值范围，这是草率之举，我并没有责怪他们，而是提出了类似的一个问题：

已知方程2x2-（6m+1）x+3（3m-1）=0有实根，求实数m的取值范围？

请学生观察两题的差异，共同分析其错因：由于-1≤sinx≤1，故△≥0不能保证方程的解在区间[-1，1]内，即△≥0只是方程有实根的必要非充分条件！

要将参数m的取值范围求出并不容易，如何让各层次的学生都能积极参与，特别是让基础较弱的学生继续保持学习的热情、在探索该题上提高自己的思维能力呢？

解法1：令t=sinx，则-1≤t≤1，方程化为2t2-（6m+1）t+3（3m-1）=0，利用一元二次方程区间根的分布规律，分方程在[-1，1]上有两解或有且仅有一解这两种情况去求解。

上述问题有没有其它解法呢？学生们各抒己见，课堂上涌动着一股强劲的探索热流，基础较弱的学生也在积极思考，大家共同总结了：

解法2：方程化为（9-6sinx）m= 3+sinx-2sin2x，∵9-6sinx≠0，利用分离参数法得m= ，观察到分子分母可分解因式，约简得m=

，利用三角函数有界性求解。

这表明由于学生在互相讨论中不断获益，思维向多层次迈进了。还有没有其它解法呢？如果分离参数后不能分解化简，怎么办呢？

由于学生的主体作用得到了充分发挥，极大地调动了思维的积极性，师生共同分析得出，求函数式m=

的值域，可利用导数法，我请了一位同学上台板演解法：

解法3：令t=sinx（-1≤t≤1），则m= ，对m求导得：0≤m ≤ 。

解法3运用导数法，得到函数的单调性，从而求出函数的值域，这是一种通性通法！学生们通过比较，认为解法1太麻烦，需要分类讨论；解法2最快捷（这是由本题特殊性决定的），解法2则具有一般性。

这些方法的讲解，尊重了学生之间的差异，使得后进生越学越有劲头，优等生在积极的思考和讨论中也能不断的优化自己的思维，提高自己分析和解决问题的能力，真正地让不同程度的学生在课堂上都能学有所获。

三、体现“发展性”原则，培养学生探究能力

传统的例题及习题的教学是侧重于对所学知识内容的理解掌握和解题规范性的示范，这当然是必需的。但绝不是就题论题，照本宣科。这要求我们通过对例题习题的再加工（变式）和再拓展（归类），让学生深入的探究，深刻的反思。例如在学完《直线与方程》内容后，很多老师都会选用下面这道题：

已知定点P（6，4），经过P的直线m，与定直线l：y=4x相交于第一象限内的点Q，与x轴正半轴交于点M，使△OQM面积最小，求直线m的方程。

分析：首先注意本题需分类讨论，即直线m斜率是否存在的情况。设M（a，0），通过对本题条件的分析，引导学生得出△OQM的面积函数式，再求面积最小值。

当师生共同求出函数式S=

（a>5）后，引导学生回忆值域的求法，分析得到本题可以化为二次函数求最小值，或通过配凑使用均值不等式，也可使用判别式法求最小值。最后求得直线m：x+y-10=0，M（10，0），Q（2，8）。

带领学生进一步研究，不难发现一个共同点，本题中点P恰好是线段MQ的中点，那么这个发现是不是巧合？能否推广呢？促使学生进行思考，最后引导学生一起证明面积最小值定理。

总之，教师要从练习的“少而精”入手，选择具有针对性、循序渐进性和发展性原则的问题进行巧练和讲解，在巧练中发展数学思维，在讲解中不断提高课堂教学效果，真正实现“返本归真”、“减负增效”，全面提高数学课堂教学质量。

（作者单位：安徽省合肥市肥东县第一中学）