“求同寻异”法在解决双变量问题中的有效应用

李伟康

摘 要：当对两个类似对象或两个相似过程进行比较时，有一类问题比较麻烦。针对被比较的物理量，这类问题中一般有两个因素共同对其产生影响，往往它们产生的影响又是相悖的，从而使答题者有种“乱花渐欲迷人眼”的感觉。本文将针对这类试题提出一种独到的分析思路，以供同行们参考。

关键词：求同寻异；双变量；比较；旋转秋千；摩擦生热；电荷运动；空气阻力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）5-0049-3

例1 （2013年江苏卷）如图1所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）

A.A的速度比B的大

B.A与B的向心加速度大小相等

C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的缆绳所受的拉力小

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图1 旋转秋千

解析 显然座椅A、B的角速度大小相等，B距离转轴更远些，线速度和加速度也都更大些。又因为两者质量相等，所以B所需向心力更大些。

设缆绳与竖直方向的夹角为θ，则：

mgtanθ=mω2r （1）

由于rB>rA，

所以θB>θA，

而竖直方向上满足FTcosθ=mg，

所以FTB>FTA，答案为选项D。

然而，有些同学对此解析提出了自己的疑议，为什么座椅A、B在运动过程中不可能呈现如图2所示的空间关系呢？

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图2 分析图

此时，rA>rB且θA>θB，是基本满足（1）式的。

于是，笔者便借机让学生尝试用数学方法证明此种情况是不会发生的。学生思考后确实给出了证明，较为繁琐，此处不再赘述。

那么，有什么更好的方法，说明此种情况不会发生呢？

让我们首先来进行“求同”分析：即假想把座椅A、B系于同一位置，则显然有rA=rB，θA=θB。在此基础上把系座椅B的位置外移一些，进行“寻异”分析：由于rB变大，由（1）式自然得出θB随之变大，从而导致θB>θA，即图2所示情况不会发生，而应该是图3所示情况。

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图3 秋千旋转图示

例2 （2010年江苏卷）如图4所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有（ ）

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图4 物块下滑图

A.物块经过P点的动能，前一过程较小

B.物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少

C.物块滑到底端的速度，前一过程较大

D.物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长

解析 本题较难判断的是选项B，其他选项此处不再分析。摩擦生热的公式为Q=fs相。然而，由A到P和由B到P两过程相比，前一过程的摩擦力较大，位移却较小，似乎很难判断两过程中产生热量多少。

下面进行“求同”分析：设木板中点为O，则A到O和由B到O两过程相比，位移大小相同，而前者的摩擦力较大，所以前一过程产生的热量多些。由此可以得知两过程产生热量相等的位置应位于O点上方，设为Q点。

现在可以“寻异”了：

（1）若P点刚好也位于Q点，则两过程产生的热量相等；

（2）若P点位于Q点上方，则前一过程产生的热量少；

（3）若P点位于Q点下方，则前一过程产生的热量多。

由于题中只提到“P点距A端较近”，不知道P点与Q点的位置关系，故两过程产生热量多少关系不确定。

例3 如图5甲所示， 在x轴上有两个固定的点电荷Q1、Q2，现有一个点电荷q（电性未知）以一定的初速度沿x轴正方向运动（只受电场力作用），其v-t图像如图5乙所示，q经过a、b两点时速度分别为va、vb。则以下判断正确的是（ ）

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图5 例3题意图示

A.Q2带负电且电荷量小于Q1

B.b点的场强比a点的场强大

C.q在a点的电势能小于在b点的电势能

D.q一定带正电

解析 本题很容易判断出选项A、C是正确的，因b处加速度为零，故场强为零，选项B错误，但选项D较难分析。

学生很容易进行如下分析：由a到b的过程中，q做减速运动，受到的合力沿x轴负方向，若q带正电，Q2对其的吸引力应大于Q1对其的排斥力。虽然Q2Q2，好像也可以实现。从而得知q的电性是不确定的这一错误结论。究其原因，是因为库仑力受到电荷量和距离双变量共同影响，而学生这种定性并没有厘清这种关系，再加上没有对后面过程进行分析，从而给出了片面的结论。

本题我们依然先进行“求同”分析：显然，在b点Q1、Q2对q的作用力大小相等，在这个共同点基础上分析就方便多了。

然后再进行“寻异”分析：逆向分析q由b向a的运动，q在做加速运动，表示合力沿x轴负方向。现在设想q由b运动到了b到Q2的中点，即Q2对其的作用力变为原来的四倍，而此时q到Q1的距离却还大于原来的一半，即Q1对q的作用力比原来的四倍小，合力与此时Q2对q的作用力方向相同，沿x轴负方向，q一定带正电。选项D也正确。

例4 （2014年重庆卷）以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受的空气阻力可忽略，另一个物体所受的空气阻力大小与物体速率成正比。下列用虚线和实线描述两物体运动的v-t图像（如图6所示）可能正确的是（ ）

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A B

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C D

图6 两物体运动的v-t图像

解析 本题很容易排除A选项，但对B、C、D选项的判断不少学生显得不知所措。实际上，只要从“求同”出发，很容易发现在两个物体的速度均为零时，它们的加速度均为重力加速度，是相等的，而只有D选项中当速度为零时，图线的斜率相等，所以正确的是D选项。

本题若追加问题：两物体哪个先落回到出发点？由于受到初速度大小和空气阻力变化双变量的共同影响，是很难判断运动时间长短的。然而，在“求同”的基础上也是很好分析的了。如图7所示，设受空气阻力的物体甲初速度为v甲，并令不受空气阻力的物体乙初速度为v0时，两物体运动时间相等，同时落回。则由“寻异”分析易知，当v乙>v0时，t乙>t甲，甲先落回；当v乙

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图7 v-t关系图

（栏目编辑 陈 洁）