以圆（第1课时）为载体的说课案例及说明オ

邬云德��

尽管说课是经常使用的教学交流形式，广大教师对它的研究也正在逐步走向深入.但调研发现说课“说什么”和说课“怎样说”的问题仍是困扰教师的难题.怎样解决困扰教师的这个疑难问题？笔者采用“边学习、边实践、边研究”的方式进行了探索与反思.初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的說课“说什么”和说课“怎样说”的观点与方法对帮助教师认识与实践说课有积极的影响.本文以浙教版《义务教育课程标准教科书·数学》九年级上册第三章第1节“圆（第1课时）”为例，呈现备课之后、上课之前的说课观点与方法，供读者参考、研究.2圆（第1课时）说课示例

2.1说“为何教/学”

根据数学结果的含义，从圆的概念体系中可以析出其涉及的数学结果主要有：圆的概念，圆的组成要素和表示圆的符号等，点与圆的位置关系（重要）、圆的性质（次要）、圆上任意两点之间的弧长与弦长不等（尽管课本不要求，但是引出弧、弦概念的“生长点”）、圆上任意三点不共线（尽管课本不要求，但是“确定圆的条件”的“生长点”）.圆是在认识直线型几何图形的基础上提出来的，有丰富的生活情景.尽管圆是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段对圆的认识比较肤浅，有进一步认识的必要.圆是典型的几何图形，也是有代表性的封闭曲线；圆的特征与性质是进一步学习几何的理论基础，在解决数学内部和外部问题中有广泛应用；其研究思路具有普遍适用性.产生圆的过程、定义圆的过程、研究圆性质的过程、用圆的有关知识解决有代表性问题的过程，有能力发展点、个性和创新精神培养点；其蕴含的数学思想及数学活动经验对发展学生的智力有积极的影响.

2.2说“教/学什么”

依据圆（第1课时）涉及的数学结果及其地位与作用和蕴含的认知价值，可以析出其教学内容不仅包括涉及的数学结果，也包括三种常见的产生圆的方法和蕴含的抽象思想、运动观点、极限思想等，圆与线段、正多边形和生活中圆的关系；定义圆的过程和蕴含的归纳思想、发现几何图形特征的经验等；研究圆性质的方法和蕴含的发现几何关系的经验及分类思想、数形结合思想、符号表示思想、演绎思想等；用圆的有关知识解答有代表性问题的过程和蕴含的解题策略、方法和技巧；研究圆（第1课时）的基本思路.

2.3说“怎样教/学”

选择怎样的题材和运用怎样的方法来完成教学任务？在过程教育指导下的多次螺旋式教学探索与反思的基础上形成了如下的教学设计.

（1）教学理念.依据圆（第1课时）涉及的数学结果及其地位与作用和蕴含的认知价值，本节课试想以全面、和谐的课程目标观作为教学的指导思想；以关注“两段”的认知过程观作为教学的基本策略；以合适的“题材”为载体、有导学味的问题引导、有启发性的语言点拨、必要的讲解与归纳等作为教学的指导方法，以行为过程中的“五练”：产生对象中练、定义对象中练、研究性质中练、尝试应用中练、课堂小结中练作为教学的主要手段.这种体现过程教育的深度教学，对促进学生理解和掌握数学的知识与技能、体会和运用数学思想与方法、积淀数学活动的经验和发展能力及个性有积极的作用.

（2）教学目标.依据圆（第1课时）涉及的数学结果及其地位与作用和蕴含的教育价值，结合《课标（2011年版）》对涉及数学结果的教学要求及学生的具体情况，将其教学目标拟定为：①经历并感悟圆的产生过程，能知道产生圆的三种方法和感受蕴含的抽象思想、运动观点、极限思想等，能说出圆与线段、正多边形和生活中圆的关系；②参与定义圆的活动，能陈述圆及其有关概念和会用符号表示圆，能感悟定义圆的步骤和蕴含的归纳思想、符号表示思想等；③探索点与圆的位置关系和圆的性质，能发现并提出点与圆的位置关系和圆的部分性质，能结合图形指出弧和弦，能正确地会用符号表示弧、弦及点与圆的位置关系，能感悟研究点与圆的位置关系和圆的部分性质的过程和蕴含的归纳思想、数形结合思想、分类思想、符号表示思想等；④参与解答有代表性问题的活动，能正确地辨别圆及其有关概念，会演示用圆的有关知识进行计算的过程，能生成用点与圆的位置关系解决简单问题的过程和感悟解决问题的策略、方法和技巧，能乐意地接受圆具有广泛应用的信息.事实上，圆是基本的几何图形，产生圆的常见方法需要学生知道；点与圆的位置关系及圆的部分性质是基础知识，需要学生理解并运用；有能力发展点、个性和创新精神培养点的认知过程需要学生经历；蕴含在认知过程中有价值的数学思想方法需要学生有所感悟.

（3）教学重点与难点.根据圆（第1课时）内容的数学本质、内容的内涵特征及学生的认知水平，确定其教学重点是：圆的概念、点与圆的位置关系、圆的部分性质及概念的形成过程、点与圆的位置关系和圆的部分性质的生成过程、有关知识的应用过程和蕴含的数学思想方法.因为圆的概念、点与圆的位置关系和圆的部分性质是基础知识且有广泛的应用价值，认识圆的过程和蕴含的数学思想方法对进一步认识数学有积极的作用.确定其教学难点是：概括圆的几何特征、生成点与圆的位置关系和圆的部分性质、定量刻画点与圆的位置关系.因为圆的几何特征比较抽象，生成点与圆的位置关系和圆的部分性质需要理性思维，定量刻画点与圆的位置关系包括三种情况及其正反两个方面比较复杂.突破难点的关键是：设置认知提示语及必要的认知指导（启发、点拨、追问、干预等）.

（4）教学结构.尽管知识结构具有不变性，但教学结构具有选择性.依据本节课涉及数学结果的逻辑结构及数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律，本节课的教学结构可用图1表示.

图1“圆（第1课时）”教学结构框图

这是一个以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程，能使学生经历完整的数学思考过程，对促进学生认知与情感的变化与发展有积极影响.

（5）教学过程.依据圆（第1课时）的教学结构，这节课可分为以下五个教学环节，每个环节的教学操作方法可以如下.

环节1经历并感悟圆的产生过程——明确研究的对象

首先，教师指出：在小学里我们已经认识了圆，也会用圆规画圆.圆有哪些几何特征？有何性质？有何用处？本节就来研讨这些问题.（揭示课题）

其次，教师要求学生依次完成下列任务.（允许小组合作）

（1）画圆：①在白纸的适当位置上画半径为2cm的圆；②画圆心位置不变，半径不同的多個圆；③画半径不变，圆心位置不同的多个圆；④在操场的适当位置上画一个半径为3m的圆，你有什么好的办法或建议？

（2）举例：生活中经常采用圆的结构，你能举出尽可能多的圆的生活实例吗？

（3）反思：①产生圆有哪些方法？②确定一个圆的基本要素是什么？其作用分别是什么？③生活中人们为何经常采用圆的结构？

第三，教师组织学生汇报交流，同时教师边倾听、边评价，必要时教师进行追问.

第四，在此基础上教师进行总结性讲解.

解析尽管产生圆有多种方式，但用“线段旋转”的方式来产生圆能体现圆的数量特征.这个经历性数学活动，既有画圆、举例，以产生具体的圆和感悟圆有丰富的生活情景；也有画圆、举例之后的反思，以认识产生圆的常见方法和圆的组成要素及其作用等，同时为发现圆的数量特征埋下了伏笔.这能建立新旧知识之间内在联系和激发学生学习兴趣，并对培养学生良好的学习习惯有积极作用.

环节2参与定义圆的活动——形成圆的概念

首先，教师提出问题：尽管圆的位置和大小可以千变万化，但圆的形状具有不变性.你能根据圆的形成过程给出圆的几何特征吗？并组织学生进行合作研讨基础上的汇报交流.

其次，教师根据圆的本质特征定义与表示圆并介绍圆的组成要素.

第三，教师引导学生反思：定义圆经历了哪几个步骤？并在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

解析尽管圆是在小学初步认识基础上的再认识，但归纳圆的数量特征有能力发展点、定义圆的步骤对以后学习其他研究对象有指导作用.这个参与式数学活动，既有合作研讨定向指导性的问题，以获得圆的概念和表示圆的方法；也有获得圆概念之后的反思，以认识定义圆的步骤和蕴含的数学思想.这能使学生经历获得圆概念的思维“站点”，并对培养学生观察能力、概括能力及合作研讨的学习方式和获得概念之后的反思意识有积极的作用.

环节3探索圆的不变关系——生成点与圆的位置关系和圆的性质

首先，教师提出问题：既然圆是封闭图形且是一条特殊的封闭曲线，那么圆分平面上的点为几个部分？能否用数量关系来刻画点与圆的位置关系？并在学生合作研讨基础上教师进行总结性讲解.

其次，教师提出问题：尽管圆的结构比较简单，但圆的内涵非常丰富，你能类比发现三角形、四边形等几何图形性质的经验，给出尽可能多的圆的性质吗？（提示：圆上任意两点之间的部分（路程）与连结这两点之间的线段（距离）有何关系？圆上任意三点有何关系？圆是否具有对称性？）并在学生合作研讨基础上教师进行总结性讲解.

第三，教师指出：圆上任意两点之间路程与距离的不等关系有丰富的现实情景，为进一步研究和叙述方便的需要，我们也有必要分别给他们一个名称，并给出弦和弧的定义及用符号表示弦和弧的方法.

第四，教师引导学生反思：研究点与圆的位置关系和圆的性质的思路分别是什么？并在倾听学生观点的基础上教师进行总结性讲解.

解析点与圆的位置关系和圆的部分性质是基础知识，获得这些知识的过程有能力发展点、个性和创新精神培养点.这个探索性数学活动，既有合作研讨定向指导性的问题，以生成点与圆的位置关系、圆的有关性质、弧和弦的概念等；也有获得数学结果之后的反思，以再认研究几何图形性质的方法和体会蕴含的数学思想.这能使学生经历生成点与圆的位置关系和圆的部分性质的实质性思维过程，并对培养学生生成几何关系的能力及合作研讨的学习方式和获得性质之后的反思意识有积极的作用.

环节4参与尝试知识应用的活动——合作解答“有代表性问题”

首先，教师提出下列问题并要求学生独立尝试基础上合作回答，同时教师进行点评.图2

问题1：①写出图2中所有弦和所有弧；②在Rt△ABC中，

∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm.若以点C为圆心，画一个半径为3cm的圆，则点A，点B和⊙C有怎样的位置关系？

问题2：判断：①直径是弦（）；②半圆是弧（）；③圆内最长的弦是直径（）；④圆中的直径都互相平分（）；⑤弦相等的圆是等圆（）；⑥圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧（）.

其次，教师提出问题3：在A地正北60m的B处有一幢民房，正西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑.因施工需要，必须在A处进行一次爆破.问：为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，爆破影响面的半径应控制在什么范围内？并引导学生经历问题的抽象、求解、作答的过程

第三，教师引导学生反思：①解决问题3的策略、方法和技巧分别是什么？②若BC是一条马路，为保证不影响马路上的行人和车辆，则爆破影响面的半径应控制在什么范围内？并在倾听学生观点基础上教师进行总结性讲解.

解析用获得的数学结果解决具体问题是整节课认知过程的后半段，这节课智慧技能的类型有“知识技能”、“理解概念”、“运用规则”、“解决问题”.这个参与式数学活动，既有合作解答有代表性的问题，以再认所学的知识和发展智慧技能；也有解决问题之后的反思，以感悟解题策略、方法和技巧.这能发展学生智慧技能和认识解题过程中蕴含的数学思想方法，并对培养学生解题能力及解题之后的反思意识有积极的作用.

环节5参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）圆是怎样产生的？圆的本质特征是什么？定义圆的基本步骤是什么？

（2）描述点与圆的位置关系有哪几种方式？圆有哪些性质？我们是怎样研究的？

（3）同一个圆中，弦与直径有何关系？弧、劣弧、优弧、半圆之间有何关系？

（4）你对圆有何感触？你觉得还可以研究什么？

其次，教师组织学生合作交流，同时教师在倾听的基础上进行评价.

第三，在此基础上教师进行总结性讲解.

解析课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究意义.这个参与式数学活动，既有自主回顾与思考，也有合作交流，同时有教师的总结性讲解，以再认研究内容与研究方法.这有助于学生深化认识，并对增强学生的反思意识和发展学生的语言表达能力有积极的影响.这种价值引导下先放后收的课堂总结方法，如果组织得好，能起到跨越式作用.3课前说课的说明

不管那种类型的说课，“由隐论显”（将教学中思考、设想、假设、理念等外显出来）和“由显说隐”（将教学中一系列行为加以解释与说明）是说课的两个显著特点.从上述说课案例可得：就备课之后、上课之前的说课而言，说课主要是把“为何教/学”说到位、把“教/学什么”说准确、把“怎样教/学”说清楚.说“为何教/学”主要是简述研究对象的产生背景（可从“数学背景、现实背景、教学背景”3个角度展开），涉及数学结果的地位与作用（可从“研究对象在整个数学体系中的位置、研究内容在解决数学内部和外部问题中的作用、研究方法对进一步认识数学的影响”3个角度展开），获得数学结果的认知价值（研究过程和蕴含的数学思想及数学活动经验对发展学生智力、能力和个性的影响）.说“教/学什么”主要是详述教学内容（不仅包括涉及的数学结果，也包括获得涉及数学结果的认知过程和认知所需要的条件）.说“怎样教/学”主要是简述教学理念及解析；详述教学目标及解析；简述教学的重点与难点及解析；简述教学结构及解析；详述教学操作方法及解析.

作者简介邬云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.