例谈代数法解初中平面几何计算题

宋钰

平面几何题是初中数学课程中要求学生们学习的重要内容，在几何题的学习过程中对学生们的思维度有着很高的要求，而且初中平面几何的学习是在为以后的立体几何等内容打基础，所以这就要求学生们在学习初中平面几何的过程中能够熟练掌握学习的方法与解法. 对于初中平面几何中的题目学生在做题时要善于转换思维与方法，在学习的过程中有很多的几何题目都很难用平时直接的方法进行求解与证明，但是如果换用代数法进行求解就会非常方便，所以这就要求学生们在学习初中平面几何的过程中熟练掌握代数法，在运用的过程中学生可以适当地借助一些辅助线等条件来完成所求内容，教师可以在不断的练习中锻炼学生的思维能力和解题逻辑能力，让学生们在学习平面几何的过程中学会用代数法巧妙解决平面几何问题.

1. 用代数法解决有关三角形问题

三角形是初中平面几何题目中出现频率最高的图形，教师在教学过程中对三角形的讲解内容也非常多而且这一图形中要求学生们记住和掌握的内容和性质也比较多. 例如有关三角形的相似问题，相似是学生们在学习三角形过程中的重要内容，学生们在解有关三角形相似的几何题目中常常会出现没有思绪的情况，在用一般的方法无法解决时，这就要求学生们换一种思维方式与解题方法来考虑问题，从另一个角度对所解题目进行求解，运用代数法将题目中的各种未知量设成未知数并作为已知条件使用，列出它们与已知量之间的数量关系和方程关系进行求解.

例 如图在△ABC中，AD垂直于BC且交于点D，BE垂直于AC且交于点E ，AD = BC，M为BC的中点，AD交BE于H，求DH + HM与BC 之间的数量关系.

分析 该题用纯几何方法很难找出DH + HM与BC之间的关系，但如果考虑用代数知识通过计算，即数形结合法来求解，学生在解题的过程中会很容易找出答案，解题过程如下：

解 设AD = BC = 2，则BM = CM = 1，设DM = x，CD = 1 - x，BD = 1 + x，

因为∠BDH = ∠ADC，∠HBD = ∠CAD，

所以△BHD∽△ACD，所以DH ∶ CD = BD ∶ AD，

所以DH = ■（1 - x2），

在Rt△MHD中，MH2 = DH2 + DM2，

MH2 = ■（1 - x2）2 + x2，所以MH = ■（1 + x2），

所以DH + HM = ■（1 - x2） + ■（1 + x2） = 1，

又因为■BC = 1，所以DH + HM = ■BC.

在对该题进行求解时代数法的使用大大降低了该题目的难度，通过设适当的未知数，将含有未知数的代数式参与到解题的运算中，用未知数表示同一图形中的相关量，再根据条件建立方程关系进行求解，使此题在解答时变得更加简明.

2. 用代数法解决有关圆的计算

圆是初中生在学习平面几何过程中非常重要的知识，而且在平时做练习和考试的题目中有关圆出现的题目也非常多，对学生们的测试形式并不是单单只有平面圆的图形，往往跟其他图形相结合对学生所掌握的知识进行测试，在有关圆与其他图形方面的知识有很多，如圆内四边形所有的性质，三角形内切圆、外接圆的各边和中线重线等性质，所以在做有关圆与其他图形相结合的题目时如果用一般的方法进行计算很难得出正确答案，而且在计算的过程中很容易被某些未知条件阻挡，所以当学生遇到有关题目且无法解出答案时可以换一种思考的方式寻求答案，代数法可以在解题的过程中将未知视为已知，通过平面几何解题常用的方法数形结合对未知量进行设解进行计算，这样在解题的过程中只需列出有关的计算式子就可以对未知量进行求解，而且大大减少了学生在解题过程中由于未知量而无法顺利解题的困扰.

3. 用代数法解决组合图形问题

初中生在平时的平面几何题目的练习过程中遇到的大多数计算题目都是以組合图形的形式出现在学生们的面前，一般情况下单一的图形对学生所学知识的考验程度并不高，而且单一的图形并不能对学生所学的有关平面几何进行综合能力的考验，但是在解决有关组合图形的问题时往往由于图形复杂学生无从插手，而且这类题目中往往涉及的位置条件比较多在计算的过程中很难进行直接计算，所以这就需要学生们在解决这类题目时运用代数法进行求解，在解题的过程中将未知量设成未知数且把它当成已知量进行计算，有了这些条件学生就可以通过数形结合的方式列出相关的关系方程对该题进行计算，在逻辑关系上这些计算方程也会非常简明，让学生在解决这类题目时变得得心应手.

代数法在初中数学平面几何的计算题目中应用的范围很广，它可以解决多类相关题目而且该方法是数形结合的最好体现，通过图形列出它们之间的数量关系，而且运用代数法进行解题时大大降低了平面几何题目的难度，学生在做题的过程中也能很好地锻炼思维能力，平面几何图形的学习往往要求学生们在解题的过程中拥有数形结合的能力，在平时练习的过程中没有头绪时使用代数法将图形与它们之间的数量关系完美的结合在一起来进行求解，使所解题目变得更简明. 所以这就要求教师在平面几何的教学过程中要鼓励学生们运用代数法进行平面几何题目的有关计算，在不断地练习中让学生们的思维变得更加活跃，解题逻辑变得更加清晰.