帮你走出“一元二次方程”的解题误区

伏红明

【摘要】 解有关一元二次方程的题目，通常会出现下列错误：忽视二次项系数不为零；把关于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0看成一元二次方程；忽视二次根式有意义的条件；已知方程的根想不到代入原方程用整体代入求结果；不会利用等腰三角形中的两边相等解题.

【关键词】 忽视；整体代入；利用

解有关一元二次方程的题目，通常会出现下列错误：

错误1：忽视二次项系数不为零，导致结果出错

问题1 关于x的方程mx2 + 2x - 1 = 0有两个实数根，求m的取值范围.

错误解法：∵关于x的方程mx2 + 2x - 1 = 0有两个实数根，∴ 4m + 4 ≥ 0，∴ m ≥ -1.

点评：既然关于x的方程mx2 + 2x - 1 = 0有两个实数根，说明原方程是一元二次方程，因此m ≠ 0，所以m的取值范围是m ≥ -1且m ≠ 0.

错误2：把关于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0看成一元二次方程，导致结果出错

问题2 关于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有实数根，求a的取值范围.

错误解法：∵关于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有实数根，∴ 4 - 4（a - 2） ≥ 0，且a - 2 ≠ 0，∴ a ≤ 3且a ≠ 2.

点评：由关于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有实数根，不能说明原方程一定是一元二次方程. 当a = 2时原方程为2x + 1 = 0，此方程有实数根x = -■，满足条件. 所以原方程也可能是一元一次方程，所以此题应分类讨论.

正确解法：当a ≠ 2时，

∵ 关于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有实数根，

∴ 4 - 4（a - 2） ≥ 0，且a - 2 ≠ 0，∴ a ≤ 3且a ≠ 2.

当a = 2时 原方程为2x + 1 = 0，此方程有实数根x = -■，满足条件.

综上所述，a的取值范围是a ≤ 3.

错误3：忽视二次根式有意义的条件，导致结果错误

问题3 关于x的方程x2 - 2■x - 1 = 0有两个不等实数根，求k的取值范围.

错误解法：∵原方程有两个不等实数根，∴（-2■）2 - 4 × 1 × （-1） > 0，即4（k - 1） + 4 > 0，解得k > 0.

点评：因为方程中含有■，要使■有意义，必须k - 1 ≥ 0，即k ≥ 1.

正确解法：∵原方程有两个不等实数根，∴（-2■）2 - 4 × 1 × （-1） > 0即4（k - 1） + 4 > 0，解得k > 0.

又k - 1 ≥ 0，即k ≥ 1. ∴ k的取值范围是k ≥ 1.

错误4：已知方程的根想不到代入原方程用整体代入求结果

问题4 已知x1，x2是方程x2 + 3x - 1 = 0的两根，求（x12 + 3x1 + 2）（5 - 3x2 - x22）的值.

错误解法：解方程x2 + 3x - 1 = 0，得x1 = ■，x2 = ■.

（x12 + 3x1 + 2）（5 - 3x2 - x22） = ■2 + 3 × ■ + 2

5 - 3 × ■ - ■2.

点评：由于上面计算较繁，陷入困境求不出结果.

正确解法：∵ x1，x2是方程x2 + 3x - 1 = 0的两根，∴ x12 + 3x1 - 1 = 0，x22 - 3x2 - 1 = 0. ∴ x12 + 3x1 = 1. x22 - 3x2 = 1.

∴（x12 + 3x1 + 2）（5 - 3x2 - x22） = （1 + 2）（5 - 1） = 12.

拓展题：若n是关于x的方程x2 + mx + n = 0的根，且n ≠ 0. 求m + n的值.

分析：把x = n代入方程x2 + mx + n = 0，得n2 + mn + n = 0，∴ n（n + m + 1） = 0.

∵n ≠ 0，∴ n + m + 1 = 0，∴ m + n = -1.

錯误5：不会利用等腰三角形中的两边相等解题，导致解题无从下手

问题5 等腰△ABC中，BC = 8，AB、AC是方程x2 - 10x + m = 0的两根. （1）求m的值；

（2）求AB、AC的值.

分析：既然△ABC是等腰三角形，那么必有两条边相等. 题目中没有确定哪两条边相等，因此要考虑三种情况：（1）AB = BC，（2）AB = AC，（3）BC = AC.（1）当AB = BC = 8时，方程x2 - 10x + m = 0有一个根是8，把x = 8代入方程x2 -10x + m = 0得64 - 80 + m = 0，所以m = 16. 解方程x2 - 10x + 16 = 0得x1 = 2，x2 = 8. 所以AB = 8，AC = 2. （2）当AB = AC时，方程x2 - 10x + m = 0有两个相等的实数根，所以（-10）2 - 4 × 1 × m = 0，所以m = 25.再解方程x2 - 10x + 25 = 0得x1 = x2 = 5，所以AB = AC = 5.（3）当AC = BC = 8时，方程x2 - 10x + m = 0有一个根是8，所以64 - 80 + m = 0，所以m = 16. 解方程x2 - 10x + 16 = 0得x1 = 2，x2 = 8. 所以AB = 2，AC = 8.

总之，当关于x的方程中二次项系数含有字母时，题目中说明一元二次方程有实数根或有两个实数根才能运用判别式去解题，否则不能直接运用判别式去解题. 反之，运用判别式必考虑二次项系数不为0；已知方程的根要想到代入原方程求待定系数或特殊代数式的值；已知等腰三角形中的边是一元二次方程的根，如果题目没有说明此边是腰或底边，解题时要分类讨论这两种情况.