构造函数解不等式的课堂分析

李凯

【摘 要】在不等式的证明与计算中，构造函数是一种极为重要的解题方法，与比较法、反证法与分析法等证明方法相比，构造函数能够简化证明与计算的过程，提高证明的效率。文中将根据例题对换元法、作差法、缩放法以及条件法等构造函数的方法予以分析，探究针对不同的题目如何快速有效的解题。

【关键词】构造函数；解不等式；方法

证明与计算不等式是高中教学中的重点与难点，解题时涉及到很多技巧性的问题与内容，且不同类型的不等式需采用不同的方法进行解答，并没有刻意需要遵循的通性通法，因此学生在解题的过程中很可能陷入困境。而导数在高中教学中的引入为不等式的解题提供了新的思路与途径，构造函数成为解答不等式的主要方法之一，其优势在于解题简便，容易理解等，对这一题型的总结具有重要的意义。

一、换元法

换元法即设置某一新的变量代替原式中的一个较为复杂的式子，例如在f（x）=α（ax+b）-β（ax+b）中令ax+b=Z，则可得f（x）=αZ-βZ。换元法能够将原有式子简化，从而降低解题的难度，这是数学解题中常用到的一种基本解题方法，将研究对象予以替换后，可以将题目中所需解答的内容转移到新的知识系统中予以解答，即实现了特殊问题标准化处理。在利用换元法前，应当对题目予以全面的分析，保证不等式中有式子可以被替换，替换后的式子较为简单，从而简化解题过程。

例题：证明当a为任意正整数时，不等式ln（+1）>-恒成立。

分析：从题目中的不等式进行分析，不等式两端都存在着同一个式子，即，因此为了简化解题过程成，可以设置新的变量来代替，同时要保证其前提条件——a为任意正整数，换元法构造函数后再通过求导，对函数的在区间上的单调性进行分析即可证明题目中的不等式。

五、主元法

主元法一般用于变量较多的不等式中，可将一个变量看做是另一个变量的函数，从而解答题目。

例题：若实数满足则的最小值為___________________

解析：把b看成关于主元a的函数，把c看成关于主元d的函数，则，

而可以看成曲线上的点和直线上的点的距离的平方，设与直线平行的直线与曲线 相切于点

对求导得

所以到直线的距离最小为

六、取对数法

取对数法即利用指数与对数关系将不等式两边进行转化，利用对数函数分析不等式两边的大小关系，主要用于不等式的证明。

例题：已知是正整数且，求证：

七、条件法

条件法即根据题目中给出的条件特征选择合适解题方法。有些不等式证明中会给出较多的前提条件，如果能够对这些条件予以有效的分析，那么就能够以此为依据构建函数模型，然后利用模型对不等式进行分析。这种方法也较为常见，能够将原式予以简化，将抽象的问题做具象化处理，便于理解。

例题：函数y=f（a）满足在R上可导，且不等式-f（a）c，试证明bf（b）>cf（c）。

分析：题目中给出了三个条件：①y=f（a）满足在R上可导；②不等式-f（a）c。从这三个条件进行分析，其中对解题最为关键的条件是第二个，必须从已知的这个不等式出发，求证bf（b）>cf（c）。

八、结语

数学课程与其它学科不同，其内容具有较强的逻辑性，尤其是在不等式的证明上，学生的思维逻辑一定要极其严谨，在教学中学生不仅应当能够将不等式证明出来，还应当以最简洁的方式进行证明，真正掌握科学的规律与科学的方法。作差法、缩放法、换元法、条件法等都是常用的证明方法，学生只有多加总结与练习，才能真正提高数学素养与能力。

参考文献：

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