基于贝杰龙（Bergeron）算法的雷电入侵波对变电站危害的研究

李恩佳

摘要：本文主要基于道梅尔—贝杰龙（Bergeron）算法的相关理论和数学模型，以理想的无损耗单导线线路为研究对象，利用相关集中参数元件的数学模型，将线路中的电感、电容变为只包含电阻及电流源的等值电路，最终将分布参数线路和集中参数元件转化为贝杰龙（Bergeron）等值电路。

关键词：贝杰龙算法；雷电入侵波；变电站

一、前言

变电站是电力系统的核心部分，在电力系统中扮演着重要的角色，一旦发生雷电事故，轻则会使变电站中的重要设备受损，重则会造成大面积的停电事故。因此，变电站对防雷保护的要求必须十分可靠。本文主要研究雷击输电线路后产生的雷电波侵入变电站，对于雷击输电线路产生的雷电入侵波，通常的解决办法是在电气设备旁安装阀型避雷器。但是，在实际工程中不可能实现在每个电气设备旁都设置一组避雷器。那么，本文主要使用贝杰龙（Bergeron）算法，建立电力系统的数学模型和等值电路，计算出网络中各个节点的电压，从而能计算出在重要的节点处使用保护设备。

二、波过程概述

（一）、无损耗单导线线路中的波过程

实际的输电线路采用三相交流或双极直流输电，导线和绝缘中分别存在电阻和电导，在电磁波传播过程中还会产生能量损耗。所以，所谓的均匀无损单导线路实际上是不存在的。但为了更清晰的分析波过程的物理本质和基本规律，暂时忽略线路电阻和电导损耗，假设线路各处参数均匀，便于理论上的分析研究。

1、电压波和电流波的传播

首先分析电压波和电流波是怎样在线路上传播的。图1为一条无限长的均匀无损的单导线，设在t=0时合闸于直流电压源E，单位长度线路的电感、电容分别为L0、C0。

图1波在均匀无损单导线上的传播

随着线路电容的充放电，将有电流流过导线的电感，即在导线周围空间建立起磁场。因此，和电压波相适应，还有一电流波以同样的速度沿x方向流动。

2、电压波和电流波的数量关系

设向x方向传播的电压波和电流波，在开关合闸后t=时刻到达x=点。长度为的导线上的电容C0充电到u=E，获得电荷C0u。这些电荷又是在时间内，通过电流波i输送过来的，因此：

C0u =i （2.1）

另一方面，这段导线上的总电感为L0，在同一时间内，电流波i在导线周围建立起磁链L0i，导线上的感应电势为：

由式（2.1）和（2.2），得到电压波和电流波的关系为：

上式对于均匀无损线上的任一点都适用，它值是一个实数，具有电阻的量纲，称为波阻抗，用Z表示：

其中： L0 =H/m，C0 = F/m。

（二）、波动方程

设单根均匀无损长线的参数L0、C0都是不变的常量。令x为线路首端到线路上某一点的距离，可以把长线看作是由许多无限小长度dx的线路单元电路串联而成，每一线路单元具有电感L0dx和电容C0dx，如图2所示。

图2单根无损长线的单元等值电路

由图2线路单元电路的回路电压关系和节点电流关系可以

建立以下一阶偏微分方程组：

由方程（2.6）对x再求导数，由方程（2.7）对t在求导数，然后消去i；并用类似的方法消去u；可以得以下二阶偏微分方程：

这就是单根均匀无损长线的波动方程，属于两个自变量x和t的二阶偏微分方程。

三、贝杰龙（Bergeron）算法分析变电所波过程

（一）、集中参数元件的Bergeron等值模型

利用梯形积分法可推导电感L 和电容C 的Bergeron 模型。电感L 的电压、电流关系式是：

对上述两边在上积分， 并整理后得到：

（3.2）

将式（3.2）中的积分用梯形积分近似代替（用分别代表、t 时刻），即：

（3.3）

把式（3.2）中i 的下标统一成k、k . 1 得：

= （3.4）

式（3.4）又可写成： （3.5）

上式中：

同理可得到电容的Bergeron 模型：

（3.6）

式中

所以L 、C 都可以表示成一个电阻的等值电路。利用这个模型，可以避免求解L 、C 的微积分方程，使计算L 、C 能象计算电阻一样简单

（二）、无损耗传输线的Bergeron模型

如图3的传输线km ，长为I，其电压和电流分别为、、和。利用电力系统过电压中传输线的行波理论，可得到无损耗传输线的Bergeron模型，结果如下：

（3.7）

图3单根传输线的Bergeron 等值模型

（三）、Bergeron 算法的应用

假设这里的网络只包含电源e（s）、电感L 、电容C、电阻R 和传输长线，那么，Bergeron 法求解电路网络的步骤如下：

1、用电路理论中的观察法写出网络的节点电压方程组：

（3.8）

式中Y 为节点导纳矩阵，U（t）为需要求解的节点电压， 为节点的实际电流源I（

2、用来回迭代法得到I（

对于电感： 其中为t时刻电感的等值计算电流源值，为时刻流过电感的电流， 为时刻此电感两端的电压，Bergeron 法的主要思想在于利用时刻t以前的已知量求得t时刻的未知量。

对于电容： 其中为t时刻电容的等值计算电流源值， 为 时刻流过电容的电流，为时刻此电容两端的电压。对于传输线， 根据上述模型， 有：

（3.9）

（3.10）

将式（3.10） 中的t代入式（3.9）得到

（3.11）、即为式

（3.8）中所需的I（

至此， 电感、电容和传输线的Bergeron 计算方法已经顺利地应用于含电感、电容和传输线的电流网络中，计算精度可以通过改变来调节，视实际要求而定。

四、小结

（一）、在电力系统的仿真计算中，电感、电容和传输线都可用Bergeron 等效模型来表示；

（二）、对迭代公式稍加变形，使电感、电容的计算更简单；

（三）、计算精度可以根据实际要求，调节大小来达到。

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