关于连续函数平均值的研究

王雪琴，杨秀香

(渭南师范学院 数学与信息科学学院，陕西 渭南 714099)

【自然科学基础理论研究】

关于连续函数平均值的研究

王雪琴，杨秀香

(渭南师范学院 数学与信息科学学院，陕西 渭南 714099)

平均值概念在统计学中起着非常重要的作用，而定积分的本质是积分和的极限值，也是一种特殊的“和”，具有统计的性质.因此从积分中值定理出发，引申出连续函数在区间上平均值的概念，同时研究出该平均值函数相应的基本性质，进而应用这些性质特征求函数的平均值、证明积分不等式等.在证明实例中得出在连续条件下几何平均值小于等于算术平均值的结论，从而扩大了平均值概念的范围.

连续函数；平均值；统计量

平均值是初等统计学理论中的重要概念之一，它的应用遍布各个研究领域.同时在数学不等式的研究中也起着非常重要的作用.文献[1]研究的是关于离散型变量平均值的概念及有关性质，采用多元函数极值方法建立了与算术平均值和几何平均值有关的一个不等式．文献[2]介绍了积分的概念及积分中值定理的相关内容.文献[3]研究了定积分概念的两大特性，即区间具有可加性及局部小区间上的量具有线性性质.本文在上述研究的基础上利用积分中值定理的理论特性研究了连续函数在区间上平均值的相关概念、性质及其在求平均值、证明积分不等式等中的应用.为更深入地研究连续函数在区间上的各种统计规律奠定了一定的基础，让统计的范围更加宽广.

1 主要结论

1.1 基本概念

函数平均值的概念源于定积分中值定理.

关于定义1的几点说明：

(1)平均值具有广泛的意义，它可以延伸到各种类型的平均值，包括多元函数在不同区域的平均值和各种加权平均值.

(2)由于定积分是一种特殊的“和”，因此它可以看成是离散量平均值的推广.

(3)有时连续的条件可以降为可积，也可以求出函数的平均值，例如黎曼函数

在区间[0,1]上不连续但可积，其Af=0.

定义2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，对于∀x∈[a,b]，称

为函数f(x)在[a,b]上的平均值函数.

说明：区间可以由有限推广到无限.

1.2 基本性质

性质1 平均值函数Af(x)在[a,b]上连续，则其在(a,b)内可导.

证明 由微积分定理及运算性质易得.

性质2 若函数f∈C[a,b]单调递增，则平均值函数Af(x)在[a,b]上单调递增.

证明 由微积分中值定理及积分中值定理有

由于f在[a,b]上单调递增，得A'(x)≥0.

故Af(x)在[a,b]上递增.

性质3 若函数f(x)为[0,+)上的凸函数，则平均值函数Af(x)也为[0,+)上的凸函数.

证明 对于∀x1,x2∈[0,+)及∀λ∈[0,1]，因为f(x)为[0,+)上的凸函数，所以

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

因此，由凸函数的定义得Af(x)也为[0,+)上的凸函数.

性质4 设函数f∈C[0,+)，若,则C.

说明：连续函数在无穷远处平均值的极限值为函数本身在无穷远处的极限值.

又当T>M时，

性质5 设函数f∈C[0,+)，若函数f(x)为[0,+)上周期为p的函数，则

说明：周期函数的平均值在无穷远处的极限为函数在基本周期内的平均值.

证明 由周期函数的定义有，对∀x>0,∃n∈N及x'∈[0,p),使得x=np+x'，于是

性质6 若函数f(x)在[a,b]上二阶可导且f″(x)≥0(或≤0)，则

证明 若f″(x)≥0，由性质3有Af(x)为凸函数,再由凸函数的基本不等式有

说明：(1)的平均值总是介于函数在中点的值与函数对应的中点值之间. (2)由该性质可以得出下面的推论.

推论 设函数x=φ(t)在[a,b]上连续，f″(x)≥0(或≤0)，则

2 应用

例1[1]求心脏线r=a(1+cosθ)在[0,2π]极径的平均值.

由于f'(x)=-2xe-x2，f″(x)=2e-x2(2x2-1)≥0，

例4 求函数y=arctanx的平均值在无穷远处的极限.

由于该积分的计算难度较大，要想计算出值几乎是不可能的，因此只能判断出其值的范围.

平均值的概念除了用来求平均值、证明不等式和估值外，还可以用来研究概论中连续函数的均值理论；平均值的概念除了在区间定义外，还可以推广到曲线、平面、曲面、空间等各个领域，同时也可以根据实际需要定义多种加权平均值，这样就扩大了平均值的研究范围，使其应用更加广泛.

[1] 李新平，孙明保.关于算术平均值与几何平均值的两个不等式[J].湖南理工学院学报(自然科学版)，2011，24(4)：7-9.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 刘玉莲.数学分析讲义学习指导书[M].北京：高等教育出版社,1985.

[4] 徐利治.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社,2008.

[5] 裴礼文.数学分析中的典型问题及方法[M].北京：高等教育出版社,2002.

[6] 严子谦，尹景学，张然.数学分析中的方法与技巧[M].北京：高等教育出版社,2009.

【责任编辑 牛怀岗】

Research on the Average Continuous Function

WANG Xue-qin, YANG Xiu-xiang

(School of Mathematics and Information Science, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

The concept plays in the statistical average of a very important role, and the definite integral is the integral nature and limits, but also a special "and" statistical in nature. Therefore, from the integral value theorem gives rise to a continuous the concept function on the interval for the mean, while developed the basic nature of the average of the corresponding functions. Further application of these properties feature averaging function, prove integral inequality, etc. come under continuous conditions of geometric mean less arithmetic average of the conclusions in the proof instances, thus expanding the scope of the average value of the concept.

continuous function; average value; statistic

2014-12-11

渭南师范学院教育科学研究课题：西方教师教育大学与中小学合作体制特点(2014JYKX021)

王雪琴(1962—)，女，陕西大荔人，渭南师范学院数学与信息科学学院副教授，主要从事数学分析课程的教学研究.

O174

A

1009-5128(2015)10-0022-04