消元法与换元法

二元一次方程组的基本解题思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.除此之外，对于具有某些特点的二元一次方程组，若能根据题目的特点，适时地进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地求解.因此，同学们在做题时要仔细观察，认真分析，根据二元一次方程组的具体特点选择适当的解题方法，养成具体问题具体分析的习惯，促进发散性思维的形成.

一、 利用消元法解二元一次方程组

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决问题的方法，叫做消元法，具体转化方法包括“代入消元法”和“加减消元法”.

1.运用代入消元法求解

【典型例题】

（1）已知x2-2x-5=0，将下列式子先化简再求值：（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）.

解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3

=3x2-6x-5=3（x2-2x）-5

∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5

∴原式=3×5-5=10.

（2）若4x+3y+5=0，则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于_________.

解：∵4x+3y+5=0，∴4x+3y=-5，

∴3（8y-x）-5（x+6y-2）

=24y-3x-5x-30y+10

=-8x-6y+10

=-2（4x+3y）+10

=-2×（-5）+10

=20.

2.运用加减消元法求解

【典型例题】

（3）解方程组4x-3y=33x-4y=4

解：4x-3y=3 ①3x-4y=4 ②

①+②得7x-7y=7 ∴x-y=1 ③

①-②得x+y=-1 ④

由③、④得x=0，y=-1.

解：由题意得：4x+5y=10 ①5x+4y=8 ②

由 ①+② 得：9x+9y=18，即：x+y= 2.

由 ②-①得：x-y=-2.

3.综合运用加减消元法和代入消元法求解

【典型例题】

（5）解方程组13x+14y=4114x+13y=40

解：13x+14y=41 ①14x+13y=40 ②

②-①得x-y=-1，∴x=y-1 ③

把③代入①得13（y-1）+14y=41，

解得：y=2.

把y=2代入③，解得x=1

∴x=1，y=2.

（6）已知x-3y+7z=0x-2y+4z=0（xyz≠0），求x：y：z的值.

解：在方程组x-3y+7z=0 ①x-2y+4z=0 ②中

由②-①得：y-3z=0，

∴y=3z ③

把③代入②中得：x=2z

∴x：y：z=2z：3z：z= 2：3：1

小结与反思：解方程组的主要思路就是“消元”.当方程组中某个方程的未知数系数绝对值较小或常数项为0时用代入消元法，即“一变，二代，三解”；当方程组中两个方程的某个未知数系数的绝对值相等或互为相反数或成倍数关系时用加减消元法，即“一化，二加减，三解”.

二、利用换元法解二元一次方程组

在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量代替，从而使问题得以简化，这叫换元法.换元通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.尤其是用换元法解一些复杂的分式方程组较为便捷，可根据方程的特点设出相应的未知数，使过程更加简化.

1.单参数换元法

【典型例题】

可得x=5k-1， y=2k+3，

将x=5k-1， y=2k+3，同时代入②得 3（5k-1）+4（2k+3）=32，

解得k=1.

∴x=5×1-1=4， y=2×1+3=5

则原方程的解为x=4y=5

（8）解方程组：3x+4y=165x-6y=33.

解：3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②

①×λ+②，得： （3x+4y）λ+（5x-6y）=16λ+33

即：（3λ+5）x+（4λ-6）y=16λ+33 ③

2.双参数换元法

【典型例题】

原方程组可化为4a+3b=105a-2b=1，解得a=1b=2

3.均值换元法

【典型例题】

（11）解方程组2x+3y=127x-17y=97

解：2x+3y=12 ①7x-17y=97 ②

由①可设2x=6+6t，3y=6-6t，

即x=3+3t，y=2-2t，代入②，得

7（3+3t）-17（2-2t）=97.

∴t=2.

∴x=3+3×2=9，y=2-2×2=-2.

∴原方程组的解为x=9y=-2.

（12）解方程组5x+2y=162x+3y=z+12x+y+z=6

解：5x+2y=16 ①2x+3y=z+12 ②x+y+z=6 ③

由（1）令5x=8+k，2y=8-k

把④、⑤代入②、③整理，得11k+10z=323k-10z=-4，

解得k=2z=1，

把k=2分别代入④、⑤得x=2y=3，

∴原方程组的解为x=2y=3z=1.

小结与反思：中考题中需要运用换元法去解答的考题经常会见到，在使用换元法时一定要注意：①换元后使原方程或方程组变得简单明显；②能使解题步骤得以简化；③能确保解答结果准确；④对求出的方程（方程组）的根一定要检验，避免出现增根或漏根情况.

2015年第3期《平面直角坐标系》参考答案

1.C；2.C；3.D；4.D；5.（3，3）；6.（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）；7.四；

8.（1）解：如图1

图1

（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（-1，-2）.

9. （1）图略.

（2）A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；

（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积.

∴△A1B1C1的面积=3.25.

10.解：图略，过点A作AF与直线CD垂直，垂足为F，过点B作BE与直线CD垂直，垂足为E，过点A作AG与直线BE垂直，垂足为G.

由点的坐标的意义可知，AG=7，AF=5，DF=2，EC=2，BE=3，BG=2.

∴S四边形ABCD=S矩形AGEF-S△AGB-S△BEC-S△ADF

∴四边形ABCD的面积为20.

2015年第3期《平行四边形》参考答案

1.C；2.A；3.C；4.16；5.125；6.4；7. 3

8. 解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，

∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，

∠3+∠BCE=90°，

∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°

∵在Rt△BCE中，BC=13，

如图2，作EF⊥BC于F.

9. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.

∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90°.

∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.

∴BE=DG.

∴AB=BF.

∴四边形ABFG是菱形.

10.（1）解：在RtΔABC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，在等边ΔABE中，∠ABE=60°，且AB=BE，

∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，

∴RtΔABC≌RtΔEBF，∴AC=EF

（2）证明：在等边ΔACD中，∠DAC=60°，AD=AC，又∵∠BAC=30°，∴∠DAF=90°，∴AD∥EF，

又∵AC=EF，∴AD=EF

∴四边形ADFE是平行四边形.