让数学文化浸润练习课

陈恩辉

[摘 要]数学练习课是数学教学中不可或缺的组成部分，要改变数学练习课是只做数学练习的课这一现状，应赋予数学练习课更多的价值内涵。可根据数学文化的内涵和价值，从深入挖掘数学价值、深度构建数学联系、深刻融入数学文化三个方面进行数学练习课的设计，这样可使学生远离数学的枯燥与乏味，体会数学的灵动与趣味。

[关键词]数学文化 练习课 价值 联系 文化 教材 数学史 数学思想方法

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）17-020

在小学数学教学中，练习课大约占总课时的40%左右，既是新授课的有效补充与拓展延伸，又是学生掌握数学知识、习得数学方法、培养学习兴趣、提高数学思维能力必不可少的手段与途径。但如今，数学练习课往往被教师简化成只做数学练习的课。如何让数学练习课更多地传递数学知识、传承数学文化、传播人类文明，值得每位数学教师思考。下面我就以自己亲自上过的一节比赛课为例，谈谈这个问题。

去年市里举行优质课评比活动，我有幸代表学校参加比赛，上内容为“分数加减法”的练习课，这个练习安排在“异分母分数加减法”新授课的后面，主要目的是在学生学习分数加减法后，通过各种形式的练习巩固学生对分数加减法的计算方法，提升学生的计算能力。这个练习，教材一共安排了13道习题（课本第13～16页），其中第1～3题和第5、第6、第8题属于基础计算类题目，主要巩固学生对异分母分数加减法的计算方法，而第3题兼具培养学生数感的功能；第4、第7、第9、第11、第12题属于解决问题类题目，既有利用异分母分数加减法解决简单实际问题的基础题，又有综合性较强的实践运用题；第6和第10、第13题属于拓展延伸类题目，第6题是在常规计算的基础上找到速算的方法，既是基础题，又是拓展题，第10题是关于杨辉三角的变式运用，主要意图是为了增强学生的计算兴趣，而第13题是为学有余力的学生提供的挑战题。这么多的题目想要在一节课内完成教学显然是不可能的，于是我对本节练习课的教学目标定位如下：（1）通过基础练习，巩固学生对分数加减法的计算方法，提高他们的计算能力；（2）借助数学文化的魅力，对分数加减法的计算进行拓展延伸，培养学生的数学思维能力；（3）让枯燥的数学计算变得生动、有趣，提升学生对数学的学习兴趣。

为了挖掘数学文化的魅力，我就在“埃及分数”上做文章。在“异分母分数加减法”新授课结束后，教材安排了一个“你知道吗”的内容，在这则阅读材料里介绍了“埃及分数”的知识。“埃及分数”是指古埃及没有表示分数的通用方法，只用一些特殊符号来表示分子为1的分数，而其他分数都是用几个分子为1的分数之和来表示，如 = + 等。这一部分内容在平常的教学中往往被教师所忽视，让学生看一看就算了事。在备课中，我发现第12题和第6题能很好地诠释“埃及分数”的意义，于是就在课堂的第二个环节中充分利用“埃及分数”做文章。

情景再现：

在第一个环节的基础练习结束后，第二个环节中，我就引导学生领略埃及数学文化的魅力。由于教材中的第12题是问“每个孩子分得这些苹果的几分之几”，这个问题问的是部分与整体之间的关系，与单位“1”的具体数量无关，不能引入“埃及分数”，所以我把问题作了改变：“每个孩子分得几个苹果？该怎么分呢？”教学中，我把全班学生按8人一组分好，每组分给6个圆片代表6个苹果，让学生合作尝试可以怎么分苹果。学生交流汇报的时候，我根据他们每人手上拿着的圆片情况，有序地进行教学。

师：请手上拿着6个 的同学来汇报。

生1：我们是把每个圆片都平均分成8份（同组的同学补充“把6个圆片叠在一起分”），共48份，再每人拿6份，就是6个 ，即 。

师：请手上拿着3个 的同学汇报。

生2：我们是把每个圆片平均分成4份，共24份，再每人拿3份，就是3个 ，即 。

师：你们的分法与他们相比，有什么好处？

生2：他们分得比我们碎。

师：也就是说，你们的整体性更好一些。那有没有比他们整体性更好的方法呢？

生3：我们先拿4个圆片，把每个圆片都平均分成2份，一共有8个 ，每人先得1个 ；再把余下的2个圆片每个都平均分成4份，一共有8个 ，每人再得1个 ，这样每人就一共得到了 + = 。

……

我先通过课件演示生3的方法，让学生明白具体的操作过程，再告诉学生刚才看到的方法就是古埃及人使用的方法。接着，我向学生介绍“埃及分数”，以及莱因德纸草书中关于把9个面包平均分给10个人的方法（方法是先拿5个面包，每个都平均分成2份，共有10个 ，每人先得 个面包；再把余下的4个面包每个都平均分成3份，共有12个 个，每人再得到 个面包；最后把余下的2个 都再平均分成5份，共有10个 ，每人得 个面包，这样每人得到的面包就有 + + = 个）。这样教学，既让学生体会到古埃及劳动人民的智慧，又让他们感悟到这种分数表示方法给后来的计算带来的弊端。

正当学生兴致盎然的时候，我出示第6题中 + 、 + 、 + 、 + 的四个加法式子后，问：“这些埃及分数之和又表示的是哪个分数呢？”没等算完，有些学生就发现了速算规律，他们迫不及待地想要表达自己的成果。

生4：我发现它们的分母都是原来两个分母的积，分子都是原来两个分母的和。

师：这四道题目有什么特点呢？

生5：分母互质，分子都是1。

师：是的，我们数学中的很多规律都可以用字母来表示，这个规律你们会表示吗？

于是我给出 + = 这一模型，让学生试着去填写，结果学生很快就写出了 + = 。得出结论后，我再让学生讨论式子中a和b的关系，大部分学生都说a和b要互质才行，像刚才做的这四道题一样，分母都是互质的。于是，我追问：“真的只有互质关系才行吗？”一些聪明的学生马上去找反例验证，很快得出了结论。一个学生说：“不互质也是可以这样算的，只是这样算起来的结果不是最简分数，需要再约分才行。”其他学生都情不自禁地为这位同学鼓起掌来。

在学生研究出分数单位相加的速算方法后，自然就引出了相减的话题。于是我出示第6题的四道减法式子，不过由于第6题的四道减法式子的分母都是相邻的自然数，使得差的分子都是1，容易误导学生，不利于学生得出规律，所以我作了些许改变，如 - 、 - 、 - 、 - 等。有了刚才加法的研究基础，在这一环节中，学生都能自主地发现规律，并且在与同学的讨论中总结出了它的速算方法，也学着用字母表示出来。

在领略了古埃及的数学文化之后，第三个环节，我引导学生把研究对象转回到了对古代中国数学的研究，即第10题的杨辉三角。不知不觉四十分钟很快过去了，下课的铃声响起时，学生还沉浸在刚才的数学文化探寻之旅中。

反思：

我课后反思认为，要想上好数学练习课，并让课堂充满数学文化味，应尽力做到以下三点。

1.深入挖掘数学价值

要想让枯燥的数学练习充满数学味，必须要理解教材中每道习题的编写意图，充分挖掘习题的价值和内涵。一般有以下两种基本途径：

（1）立足教材。

教材毕竟是教材，它的每道练习题都是由专家通过再三斟酌后编制和选定的。作为一线教师，要先尊重教材，深入理解教材中每一道习题的编写意图，体会它的价值与内涵，不要被它朴素的外表所迷惑。我们不能总想着要通过光鲜的多媒体去呈现所谓“高大上”的练习题以夺人眼球，这是一种功利的想法，要摒弃。如本节课中的第12题，看似一道毫不起眼的题目，却承载了深厚的数学文化——“埃及分数”。又如，本节课中的第10题“有趣的三角”，看似仅仅是同分母分数加法的练习，但它其实是杨辉三角的变式运用，它的分子就是杨辉三角数，这里面包含了众多古今中外数学家的研究成果，如贾宪、杨辉、帕斯卡……对于学生来说，现在虽然理解不了杨辉三角数这一知识，但它的前几行却是11的自乘积，即11的n次幂，这个知识学生还是能够理解的。

（2）改编教材。

教材无非是个例子。教材是由专家编写而成的，由于每个人的立场不同以及编写教材的时空限制，难免会出现一些疏漏，因此我们不能死抱着教材不放。我们可以对教材中一些不尽如人意的地方进行调整，使得它更符合我们的教学意图。如教材中的第6题与第12题，它们虽然不存在错误，但我们可以对它们进行一些微调，以更加适合我们的教学需要。又如第9题，教材中的原题只是根据分数的意义对钟面平均分后再取一份进行涂色，我们可以把这道题进行一些微调，让第二幅图的指针位置从第一幅图的结束位置（即6点钟的位置）开始，让第三幅图的指针位置从第二幅图的结束位置（即10点钟的位置）开始，然后依次动态呈现，这样就变为既可以考查分数意义，又可以考查分数加减法的题目，一举两得，何乐而不为？

2.深度构建数学联系

在充分挖掘习题的价值和内涵后，还要对这些习题进行串联，构建题组。在构建数学知识之间的联系时，也有两种基本的策略。如下：

（1）以数学逻辑关系构建联系。

教材中的一个练习往往编制了十几道题目，每一道题目都是有意图的，也都是有价值的，虽看似各自为政，但内部其实是蕴含着某种联系的，在编写时也是按照一定的逻辑序列来编排的。因此，我们在充分挖掘每道题的价值后，要让这些看起来孤立的题目以一定的逻辑序列呈现在学生的面前，使得学生的思维能够逐步深入，达到提高数学思维能力的目标。例如，本课以“埃及分数”把第12题和第6题自然串联起来，使得枯燥的数学计算变成追寻数学文化的足迹，让学生体会到人类文明进步的熠熠光辉。

（2）以数学思想方法构建联系。

数学习题间除了显性的逻辑关系外，还藏着隐性的数学思想方法，这些数学思想方法在解题时是可以迁移的。如本练习课的第13题，对学生来说有两道坎：一是解题的次序；二是复杂的计算。两者相比，后者显得更费时、更易错，因此我们可以把它与第10题联系起来。这两题都具有浓厚的中国味，杨辉除了杨辉三角，他还研究幻方，第13题的图可以看成是翻转的九宫格，即把里面的四条斜线旋转90度就成了标准的九宫格，而九宫格在中国古代就被称为幻方。如何建立起这两题的联系呢？刚才说了第10题其实就是杨辉三角加了个分母，去掉分母就是标准的杨辉三角了，这个分母就像是一件“马夹”，把它迁移到第13题，也可以把它的“马夹”（即分母）去掉，使计算变得简单。但这里需要学生思考的是：“第10题里是同分母分数，去掉分母相当于扩大相同的倍数，而这一题是异分母分数，如果直接去掉分母会扩大相同的倍数吗？”这样教学，使学生明白在去分母前需要先通分，转化成同分母分数，就可以有效突破计算这道坎。这两道题从表面上看，都是把分母去掉可以使计算变得简便，其实隐藏着的是同一种数学思想方法，即都要运用转化的数学思想方法解决问题。

3.深刻融入数学文化

人们常说：“要给学生一杯水，教师要有长流水。”但作为数学知识，如果离开了数学文化这条河，就将成为死水。数学课堂对于数学文化的传承可能更多地需要数学练习课来承担，因为新授课往往以传授新知和传承知识为主要任务，而对于数学文化的传承应当以数学知识为载体。正如前面对于“埃及分数”的理解一样，只有在学生学会分数加减法后，才能体会到“埃及分数”这一数学文化。在数学练习课中融入数学文化，有两种基本思路。如下：

（1）融入数学史。

数学伴随着人类文明一路走来，从人类的诞生开始可能就产生了数学，如同英国哲学家兼数学家伯特兰·罗素所说的“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了”，并且一直伴随着人类文明一起进步。小学阶段学习的数学知识在整个数学发展史上看，属于起步的基础阶段，距今至少在千年以上，甚至是几千年了。今天我们在课堂上40分钟就能教学的知识，在历史的长河中得经历几百年甚至几千年的探索，当中不知发生了多少有趣的故事或是凄惨的悲剧。因此，课堂教学中，教师应让学生更好地了解这些数学史，这样不仅可以增加他们对于数学的学习兴趣，而且有利于学生在课堂中重现探究学习的过程。例如，教学“圆的认识”这一单元时，教师十分有必要让学生了解我国古代的割圆术以及对圆周率的研究历史，使得学生知道圆周率是通过不断地割圆而计算出来的。如果不去了解这段数学史，学生会认为圆周率是通过直接测量圆周长与直径再相除算出来的，这显然是一种错误的认识。

但我们又不能把数学文化仅仅局限为中国的数学文化，好像一说到数学文化，就是古代中国比世界领先了多少年。我个人看来，文化没有好坏之分，可能有快慢之别，我们的课堂教学如果还停留在以中国过去领先世界多少年为荣的话，那么当学生知道我们中国现在还落后于世界，哪怕只是暂时的落后，他们可能会产生自卑的心理并以此为耻。就像前面“你知道吗”中介绍的，我们不能简单地以《九章算术》中记录的分数加减法比古埃及的先进就沾沾自喜并耻笑埃及人笨，而是应该让学生感受到古埃及劳动人民创造的这种分数的表示方法也是一种伟大的创举。“埃及分数”如今属于数学的一个分支——不定议程，并引出了大量的问题，其中有许多至今尚未解决，吸引着许多顶尖的数学家不断深入研究呢！在世界发展到地球村的时代，文化的界限也变得越来越模糊，文化的融合度也越来越高，我们更应该引导学生以世界的眼光来看待数学的进步。

（2）融入数学家。

数学的发展离不开古今中外的数学家，他们有的涉猎广泛，同时研究天文、哲学、物理等学科，也有的终其一生研究一个数学问题。正是由于成千上万的数学家共同的付出，才推动了数学的发展，同时也促进了人类文明的进步。但如果问一个六年级的小学生“你知道哪些数学家时”，恐怕他们多数只能说出祖冲之与高斯这两个代表人物，因为这两位数学家是数学教材中提得比较多的，甚至连牛顿都成了苹果的创始人。这正是现在数学教育的一个薄弱点，因此教师要在数学课堂上加强这方面的教育。我们可以通过一道题，挖出一位数学家或者一本数学著作。如教学本课的第10题时可以介绍杨辉等数学家，通过杨辉又可以介绍中国古代的幻方；通过圆周率可以介绍刘徽、祖冲之等数学家；在学习因数与倍数这一内容后，通过“物不知数”的问题介绍《孙子算经》，从而引出“中国剩余定理”以及鲜为人知的大数学家秦九韶；通过“百鸡问题”介绍《张丘建算经》……让数学家坚忍不拔、锲而不舍的研究精神，激发学生学习数学的兴趣，使他们树立起研究数学的志向。

总之，数学练习课是整个数学教学不可或缺的组成部分，我们不仅要把练习课上得扎实，更要上出数学味、文化味，从而让学生远离数学的枯燥与乏味，体会数学的灵动与趣味。

（责编 杜 华）