创意平板折叠桌的数学原理及其应用

卢 鹏，李 涛，张兴元，徐昌贵

(1.西南交通大学峨眉校区 基础课部 四川 峨眉 614202；2.西南交通大学 牵引动力国家重点实验室 四川 成都 610031)

创意平板折叠桌的数学原理及其应用

卢 鹏1，李 涛2，张兴元1，徐昌贵1

(1.西南交通大学峨眉校区 基础课部 四川 峨眉 614202；2.西南交通大学 牵引动力国家重点实验室 四川 成都 610031)

采用连续和离散的方式，建立了以直纹曲面方程的连续型变化模型和以几何知识切入的离散化动态模型，通过交线投影的方法，利用几何关系对开槽长度和桌脚边缘线进行数学描述，并对2种方法的结果进行了分析.

创意折叠桌；直纹曲面；动态变化；连续与离散

桌子是人们日常生活的必需品，随着社会经济的迅速发展，人们生活水平日益提高，如今对桌子的需求不仅停留在功能上能盛放物品，更注重于其外形美观性设计以及使用、存放方便性.目前有公司生产一种桌面呈圆形的可折叠桌子[1]，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板.桌腿由若干根木条组成，分成2组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度.这种木桌外形由直纹曲面构成，其独特造型以及其外形设计很受人们喜爱,如图1所示.

因此研究折叠桌展开的动态变化过程对其美观设计很有必要.本文通过分析折叠桌的数学原理，研究了在给定长方形平板长、宽、厚、以及展开后桌面高度一定的情况下，折叠桌的动态变化过程描述，以及在此基础上给出此折叠桌的桌腿木条开槽长度设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述，并进一步分析连续型和离散型变化过程，以及两种研究的误差.最后通过三维软件SolidWorks[2-4]对给出的木板参数进行实物仿真.

1 问题分析

1.1 对直纹曲面的分析

1) 直纹曲面：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线，如果曲面方程为r=a(u)+vb(u)，其中b(u)为单位向量，则称此曲面为直纹面[5].

r=a(u)+vb(u).

其中：v线是直纹面的直母线，u线是与导线C平行的曲线.

1.2 对本文问题的分析

桌子外形由直纹曲面构成.首先，认为每根木条厚度足够薄，利用直纹曲面方程可以求出理想化桌子外形的直纹曲面参数方程.其次，利用桌腿最外侧木条与地面的夹角变化以及其高度限制，每根木条开槽长度方程，以及描述桌脚边缘线方程，从而描述出此折叠桌面的动态变化过程.最后，再对连续化的直纹曲面方程离散化[9]，表述出实际折叠桌每根木条的动态变化过程以及桌脚边缘线、开槽长度.

2 连续性模型的建立

2.1 直纹曲面动态变化模型建立

桌子折叠后以桌面为基准面，桌面中心为坐标中心，木板长度方向为x轴，宽度方向为y轴，垂直于桌面为z轴，建立如图4所示空间直角坐标系.

由题意可知，桌腿形成的曲面为直纹面，在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线作为直纹面的导线，桌子外形直纹面的参数方程为：

其中：r(u,v)表示直纹面上点的坐标；

OP表示直纹面导线上点的坐标；

v表示直纹面上的直母线；

当木桌折叠过程中，设木板最外边缘与地面的夹角为θ，如图5所示.由几何关系得A(Icosθ,R,-lsinθ)、B(Icosθ,R,-lsinθ).

通过对向量OP分解可求OP=OB+BP=OB+u·BP0，

带入OB、BP0，求得：

其中：u表示BP向量的长度；BP0表示向量BP的单位向量.

则P点坐标为(lcosθ,-R+u,-lsinθ)，而平面OPQ方程可表示为：

由于Q点满足在圆桌表面，因此可以引入以下约束条件：

化简得，木桌直纹面参数方程模型为：

2.2 桌脚边缘线动态变化模型建立

对桌脚边缘线描述，即是求解桌脚边缘线坐标的表示，过QP交桌腿边缘线与点，设其坐标，如图4所示.

由于QP//QF，可求得直线的标准式方程为：

由上式解得：

代入上式，得出桌角边缘线的参数方程模型为：

2.3 桌腿木条开槽长度的数学模型建立

代入前面F点的坐标，化简可得：

3 离散性模型的建立

实际中连续性桌腿不可能进行加工，必须把桌腿进行离散化处理.某公司以长方形木板宽为直径截取圆作为桌面[1]，将剩余面积切割成等宽的木条，如图6所示.

若给定木板尺寸为120cm×50cm×3cm，木条宽度2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，将木板离散为宽2.5cm的20根木条，直接截出最外桌面长度达21.8cm，是不美观的，如图7所示，可通过将圆放大或缩小2种方法处理.本文采用缩小圆直径的方法.

假设圆距最外侧木板边缘距离为，则边缘锯齿高度为，桌腿最外侧木条长度为任意2木条间长度差为，可得：

3.1 脚角边缘线离散点模型建立

以钢筋所在直线为轴，水平面上垂直于钢筋的直线为轴，竖直直线为轴，钢筋与最外侧桌腿铰接点为原点，建立如图9所示的空间直角坐标系.将每根桌腿中心视为在轴上做平移加旋转的直线.完全展开后，以最外侧桌腿所在位置为初始位置，夹角为θ0.之后依次以间距2.5cm沿轴发生平移、旋转.若直线与水平面夹角为θi，由前面知木条长度为2l，对于该桌腿坐标为：M(x,2lncosθi,2lnsinθi).第i根木条与水平面夹角为：

桌腿展开后的离散点方程为：

3.2 开槽长度计算模型建立

取任意一根木条与最外侧木条投影至垂直于钢筋的平面上，得到如图10所示.

桌腿与桌面连接位置到钢筋距离为s1，由几何关系求得

而s2为木板展开时，钢筋到桌腿另一端距离，根据题意，此值恒定为：s2=0.5l0.

根据以上分析可得s1，s2重合部分即为滑槽长度s，则第n根木条的滑槽长度满足：

4 模型的求解

若给定木板尺寸为120cm×50cm×3cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm,运用Matlab软件求解出连续性结果[10-12]，为了得到离散型(实际)结果，把木板离散为等宽的20根木条[13-15]，运用三维软件SolidWorks对给出的木板参数进行实物仿真.

1) 连续与离散不同角度直纹曲面对比动态变化图,如图11.图中可以看出，从整体外观上来讲，不同角度下连续与离散变化不大.

2) 连续与离散不同角度桌脚边缘线对比动态变化图.如图12,从左到右，分别是角度为15°,30°,45°,60°的情况，图中可以看出，2种情况不同角度下的桌脚边缘线最大误差接近4cm，经分析产生此误差的原因在于存在圆桌边缘锯齿高度h0及桌面圆缩小，使钢筋位置发生变化，从而造成桌脚边缘线误差.

3) 连续与离散桌腿木条开槽长度.由于同侧和对侧木桌具有对称性，所以总共40根木条只需要计算出一侧的10根木条的开槽长度，从外到内计算，如表1所示.

表1 各木条开槽长度表 cm

5 结语

本文通过直纹曲面参数方程解释了平板折叠桌的形成原理，同时将其进行离散化处理，得出实际桌面展开过程.建立了桌腿木桌脚边缘线、开槽长度的计算模型.从桌腿木桌脚边缘线动态变化图以及开槽长度可以看出，连续与离散有一定差距.当最终高度一定时由于圆桌边缘锯齿高度h0存在及桌面圆缩小使得最外侧桌腿坐标点在水平方向上有一定位移，同时钢筋位置也会发生变化，从而造成桌脚边缘线以及开槽长度的误差.

在离散情况下通过减小桌腿木条宽度从而减小圆桌边缘锯齿高度，或在连续情况下使木板最外侧与圆桌面内接从而增大桌边缘锯齿高度.在这2种情况下，可以减小连续型模型与离散型模型的桌角边缘线以及开槽长度间的差别.

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(责任编辑 梁志茂)

Mathematical principles and applications of the creative flat folding table

LU Peng1,LI Tao2,ZHANG Xin-yuan1,XU Chang-gui1

(1.Emei Campus,Southwest Jiaotong University,Emei 614202,China; 2.State Key Laboratory of Traction Power,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

This paper adopts the continuous and discrete approach,and establishes the continuous change model of ruled surface equation and the discrete dynamic model with geometrical knowledge. Lengths of the socket slot and edges of table legs are used for describing quantitatively by the geometrical relationship through the method of the projection of intersection curve. Meanwhile, it analyzes the results of the two methods.

creative flat folding table;ruled surface equation;dynamic change;continuous and discrete

2015-01-23.

国家自然科学基金(61203175).

卢鹏(1983-)，男，硕士，讲师.主要研究方向：数学建模与粗糙集.

O29

A

1672-8513(2015)04-0294-06