求解常微分方程组初值问题的函数逼近法

常丽娜，秦 楠

(长治学院 数学系，山西 长治 046011)

求解常微分方程组初值问题的函数逼近法

常丽娜，秦 楠

(长治学院 数学系，山西 长治 046011)

提出了求解一阶常微分方程组初值问题的一种新的数值方法——函数逼近法，并给出了数值试验，以具体实例验证该方法有效.

常微分方程组；函数逼近法；数值方法；初值问题

常微分方程是解决工程实例的常用工具，其数学模型常用来描述客观现实世界的运动过程.然而在科学和工程问题中，遇到的常微分方程往往很复杂，尤其是常微分方程组，在许多情况下都不能求出解的表达式.另一方面，在许多实际问题中，并不需要方程解的表达式，而仅仅需要获得解在若干点的近似值即可.因此，研究常微分方程组的数值解法就很有必要.对于常微分方程组比较有效且常用的数值方法主要有Euler法、Runge-Kutta法等[1-2]，但是为取得较高的精度同时又兼顾解的稳定性，采用一般的数值方法会使得计算时间过长.

文献[3]中提出用函数逼近法求解一阶常微分方程初值问题的数值方法,文献[4]中提出利用exp(z)的多个代数函数逼近式来构造常微分方程初值问题及某些偏微分方程定解问题的若干线性与非线性差分格式.本文利用函数逼近的思想，提出了利用多项式函数逼近来求解一阶常微分方程组初值问题，给出了数值试验，并与欧拉法进行了精确度比较，以具体实例说明该方法精确度较高.

1 求解一阶常微分方程组的逼近算法

考虑如下一阶常微分方程组的初值问题，

(1)

将(1)向量化，记

则微分方程组(1)的向量形式为

(2)

假设条件如下：

为了简单起见，只就区间t0≤t≤t0+h进行讨论，对于t0-h≤t≤t0的讨论完全一样.

定理1[6](Weierstrass定理)设f(x)∈C[a,b]，则对任何ε>0，总存在一个代数多项式p(x)，使

在[a,b]上一致成立.

定理1说明C[a,b]上的函数均可用有限维的p(x)∈Hm逼近，其中Hm表示多项式空间.

若选一组基φm+1=(1,t,t2,…,tm)，设

pk(t)=ak0+ak1t+ak2t2+ak3t3+…+akmtm,t0≤t≤t0+h，k=1,2,…,n.

则

将区间[t0,t0+h]平均分成m段，各点分别记做t0,t1,t2,…,tm，其中tm=t0+h.

(3)

这样就把一阶常微分方程组的初值问题转化为函数逼近问题.

(4)

若f(t;Y)只是关于t的函数，则(4)就是一个线性最小二乘拟合问题，解下面n个方程(5)，求出ak0,ak1,ak2,…,akm，即可得到pk(t)(k=1,2,…,n).

(5)

若f(t;Y)不只是关于t的函数，则式(4)就是非线性最小二乘拟合问题.首先，根据初值条件求出ak0，然后利用求函数极值的方法可解出ak1,ak2,ak3,…,akm，即可得到pk(t)(k=1,2,…,n).这样就利用函数逼近法求出了一阶常微分方程组的近似解.

2 数值试验

2.1 应用实例

考虑方程组

解：该问题即为求解方程组

现利用函数逼近法来求方程组的近似解，设P(t)=(p1(t),p2(t))T为方程组的近似解.

先考虑区间[0,0.2]上的近似解，取φ4={1,t,t2,t3}，设

pk(t)=ak0+ak1t+ak2t2+ak3t3,t∈[0,0.2],k=1,2.

则

pk′(t)=ak1+2ak2t+3ak3t2,t∈[0,0.2],k=1,2.

利用初始条件y1(0)=0,y2(0)=1，而p1(t),p2(t)作为y1(t),y2(t)的逼近函数，所以p1(0)=0,p2(0)=1，可得a10=0,a20=1.

函数Δ1的自变量为a11,a12,a13,a21,a22,a23，函数Δ2的自变量为a21,a22,a23，利用函数求极值的方法并借助Maple软件可求得a11,a12,a13,a21,a22,a23，分别为a11=1，a12=0.992 429 297 0,a13=0.572 568 456 3,a21=1,a22=0.498 154 981 5,a23=0.184 501 845 0，a13=0.572 568 456 3，a21=1，a22=0.498 154 981 5，a23=0.184 501 845 0.这样就求出了P(t)=(p1(t),p2(t))T，得到了对应的近似值.

再把t2作为初始值，求出区间[0.2,0.4]的近似值，同样方法可求出区间[0.4,0.6]上的近似值Y(i)，计算结果见表1.

2.2 精确度比较

一阶微分方程组常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法等解法，本文采用欧拉法求此例的数值解，并与函数逼近法得到的数值解进行比较.

一阶微分方程组(1)的欧拉公式为

yk,i+1=yk,i+hfk(ti;y1,i,y2,i,…,yn,i),k=1,2,…,n

将上述例子采用欧拉法来求解，欧拉公式的具体形式为

取步长h=0.1，利用欧拉法得到的近似解用Yi表示，结果见表1.为方便比较，表1中还列出了精确解在各点ti处的值Y(ti)，以及利用函数逼近法与欧拉法分别得到的近似解与精确解在各点处的误差Y(ti)-Y(i)与Y(ti)-Yi.

由表1可见函数逼近法的精度是较高的，通过比较，不难发现函数逼近法较欧拉法精度更高，误差更小.

表1 函数逼近法与欧拉法的数值结果及误差比较

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(责任编辑 梁志茂)

Function-approaching method for solving initial value problems of ordinary differential equations

CHANG Li-na,QIN Nan

(Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi 046011,China)

A new numerical method is proposed to solve the ordinary differential equations,that is, a function-approaching method,and a numerical experiment is carried out to verify the validity of the method.

ordinary differential equations; function-approaching method；numerical method；initial value problem

2014-11-05.

长治学院科学研究基金(201413).

常丽娜(1985-)，女，硕士，助教.主要研究方向：博弈论.

O175.1

A

1672-8513(2015)04-0290-04