浅水波方程的暗孤子解

欧阳正勇，郑 珊

(1.佛山科学技术学院理学院,广东佛山528000; 2.广州航海学院基础部,广东广州520725)

浅水波方程的暗孤子解

欧阳正勇1，郑 珊2

(1.佛山科学技术学院理学院,广东佛山528000; 2.广州航海学院基础部,广东广州520725)

研究了一个非线性浅水波动方程的孤立子解，运用微分方程定性理论，证明了向左迁移的暗孤子解的存在性，并分析了暗孤子解的一些定性特征：该解具有对称性，其振幅随着波速的增大而增加，不同波速的暗孤子解必相交于对称的两点，在无穷远处呈指数衰减到零.

浅水波方程；微分定性理论；暗孤子

考虑浅水波动方程［1－2］

1 暗孤子解的存在性

图1 一维水波图形Fig.1 One鄄dimensional water wave profile

文献［2］研究了当波速c＞1时,方程(1)存在孤立子解,本文对方程(1)(见图1)进行了进一步的研究,证明了当波速c＜－1时,方程(1)存在暗孤立子解,并给出了暗孤子解的一些定性特征.

作变换［2］

方程(1)可转换成如下常微分方程

注波速c大于0时表示右行波,波速c小于0时表示左行波,本文研究的孤立子解满足条件φ, φ(n)→0(ξ→∞),其中n∈N.

对方程(3)两边关于ξ积分,得

其中C为积分常数.因为本文中考虑的暗孤子解满足φ,φ′→0(ξ→∞),故方程(4)中的积分常数C为0.

将方程(4)转变成对应的平面系统如下：

系统(5)的首次积分为

其中h为积分常数.

定理1当波速c＜－1时,方程(1)存在整体暗孤子解.

证明当波速c＜－1时,系统(5)有两个平衡点P1(0,0)和P2(φc,0),其中φc是多项式

唯一的负实根.事实上P(φ)关于φ是单调递减的,且P(φ)→＋∞(φ→－∞),P(φ)→－∞(φ→＋∞),故P(φ)有唯一的零点.又因为当c＜－1时,

所以φc＜0.

下面计算系统(5)的线性化系统在平衡点P1(0,0)和P2(φc,0)处的特征值并判断奇点的类型,为了方便计算,对系统(5)作变换,设dξ＝(1＋c＋7φ)dτ,系统(5)可转换为

除了奇直线φ＝－(1＋c)/7,系统(5)和(9)的分支相图是一样的,因而可用系统(9)代替(5)进行计算.设奇点的特征值为λ,则λ满足

当c＜－1时,平衡点P1(0,0)有一正一负两个不同的实特征值,因而是鞍点.在平衡点P2(φc,0)处的特征值为在平衡点P1(0,0)处的特征值为

其中f′(φ)＝12(c－1)－36φc＋18φc2－18φc3,因为φc＜0,所以f′(φc)＞0,又c＜－1,从而λ3,4为一对纯虚根,故P2(φc,0)为中心.

图2 暗孤子解对应的同宿轨Fig.2 Honoclinic orbit of dark soliton

系统(5)的同宿轨对应着方程(1)的孤立子解,为了证明方程(1)的暗孤子解的存在性,需要在φ－y平面上找出一条从鞍点P1(0,0)向 φ轴负方向出发,环绕中心 P2(φc,0)之后再回到P1(0,0)的同宿轨.在φ－y平面的下半平面,因为φ′＝y＜0,φ随着ξ的增大而减小,所以存在一条轨线从P1(0,0)向左出发,且必定穿过直线φ＝φc.事实上,

其中MP是φP(φ)的最大值,由式(13)可知y′有下界,故轨线必穿过直线φ＝φc.当轨线穿过φ＝φc之后 (即φ＜φc),有φ′＝y＜0,y′＞0,轨线接着向左上方走,且穿过φ轴,不然,假设y单增趋于某常数(y′→0),那么φ→－∞,由式(5)可推出y′→∞,矛盾.再利用系统(5)关于φ轴的对称性,即系统(5)在变换ξ→－ξ下是不变的,在上半平面,轨线按相同的方式回到P1(0,0).这样就证明了存在一条同宿轨,而该轨线就对应着方程(1)的一个暗孤子解.

2 暗孤子的定性特征

虽然不能直接求出暗孤子解的表达式,但仍可以应用微分方程定性理论分析暗孤子解的一些特征,然后画出暗孤子解的平面图.本文讨论的暗孤子解具有如下定性特征：

定理2方程(1)的暗孤子解具有对称性,其波峰随着波速的增大而增大,且在无穷远处呈指数衰减到0.

证明由于本文所求的暗孤子解满足φ′,φ→0(ξ→∞),因而式(6)中的积分常数h＝0,上节中的同宿轨满足如下等式

即

由式(17)可近似解得

这表明暗孤子解在无穷远处按指数衰减到0,也能反映出对应的同宿轨从鞍点P1(0,0)发出时与纵轴的夹角.

定理3设φ(ξ,c1)和φ(ξ,c2)表示在不同波速c1,c2下的两个暗孤子解,那么这两个解必相交于两点.

证明本小节考虑不同波速下波形的比较,设φ(ξ)是方程(1)的暗孤子解,且在ξ＝0处达到波峰.由定理2知,波峰的高度是波速的函数,定义如下函数

图3 不同波速的波形比较Fig.3 Comparison of different wave velocity waveforms

3 结语

本文从方程本身的结构出发,结合微分方程定性理论,分析并证明了在波速c＜－1时暗孤子解的存在性,给出了暗孤子解的定性特征,拓展了文献中的相关结论.当波速－1≤c≤1的时候,孤立子解的存在性有待进一步研究.

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The Existence of Dark Solitons of Shallow Water Wave Equation

OUYANG Zheng-yong1，ZHENG Shan2
（1.Science School，Foshan University，Foshan 528000，China；2.Department of Basic Courese，Guangzhou Maritime College，Guangzhou 510725，China）

This paper studied the soliton solutions of a nonlinear shallow water wave equation.By using the qualitative theorem of differential equations，we prove the existence of dark soliton solutions and discussed some of their qualitative characteristics.The dark soliton solutions are symmetric on both sides of the crest，and the amplitude increases with the increase of wave speed.Dark soliton solutions of different speeds intersect each other in two symmetrical spots and decay exponentially to zero in infinity.

shallow water wave equation；differential qualitative theory；dark soliton

O193

A

1673－4432（2015）05－0089－05

（责任编辑 晓 军）

2015－01－06

2015－06－04

国家自然科学基金项目 (11401096)；广东省教改项目 (GDJG20141204)

欧阳正勇 (1978－),男,讲师,博士,研究方向为微分方程.E-mail：zyouyang_math＠163.com