全方位多角度深层次——2015年安徽省高考数学理科第18题的解法探究及思考

☉江西省赣州中学 谢小翔

全方位多角度深层次
——2015年安徽省高考数学理科第18题的解法探究及思考

☉江西省赣州中学 谢小翔

2015年安徽省高考数学卷理科第18题新颖别致，内涵丰富，无论是从试题难度、试题背景、命题立意，还是对数学思维能力的考查等，都很到位，很有研究价值.笔者对此做出如下解析与大家共勉，以期抛砖引玉：

一、试题展示题目

设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

分析：本题背景熟悉，入口较宽，解法多样，综合考查了函数导数、数列、不等式证明等知识，笔者对第（Ⅱ）小题的解法进行了探究，供读者参考.

视角一：数学归纳法

视角二：不等式放缩

视角三：基本不等式

以下同视角二.

视角四：不等式的性质

视角五：数列的单调性所以数列{An}是单调递增数列，故An≥A1=1，即成立.

视角六：利用贝努利不等式

贝努利不等式：对实数x>-1在n≥1时有（1+x）n≥1+nx．

二、拓展延伸

解完此题，笔者不禁思考：Tn的范围有没有上限呢？偶数项平方的乘积的范围又是如何？所有项的平方的乘积范围呢？由此，笔者得到了以下几个结论.

此处具体证明过程略，有兴趣的读者自证.对于结论3可以先证再利用数列{Tn}的单调性.

三、反思与启示

根据多年的教学经验和体会，结合对2015年安徽省高考数学理科第18题的分析，笔者认为，对解析几何的复习教学，要注意以下几个方面：

1.夯实基础知识，注重通性通法

如何提高学生的解题能力，看似题题都有路，但路路却不通，这便是高三复习中解题教学的突破口.笔者认为数学教学中要夯实基础知识，注重通性通法，立足有价值的例题和试题，借助合理的变形，引导学生去探究、对比、总结提炼和反思解题，并使其内化为学生的自觉行为.所以，对基础知识的深刻理解、对基本技能和基本方法的熟练掌握，是学生能够从容应考顺利答题的前提．因此，在组织复习备考时，一定要注意引导学生回归课本，理解教材中有关数学概念、定义、法则等相关知识点的形成和发展过程，通过典型的问题归纳出通性，掌握其通法，弄清解决线性规划问题的基本思路及其适用范围，在此基础上，掌握各种不同背景下的线性规划问题的基本特征和求解方法，构建“知识链”，形成“能力场”，切实有效地帮助学生提高应用线性规划的知识和方法分析问题和解决问题的能力．

2.注重教材研究，把握命题方向

江苏省高考数学试题近几年命题不在题面上刻意为难考生，命题主要围绕考试大纲，结合现用教材来挖掘试题素材，这使得命题更具原创特点及贴近学生实际，学生在实际解题时对题目本身没有太强的陌生感，这可以理解为命题者选材源于课本，但难度要求实际高于教材的体现.所以要想在高考取得较好的教与学的效果，平时对课本的关注就是对高考题“源”的把握，而最基本的题源便是教材.命题者将问题的条件和设问对调，体现思维的变换，但解题核心方法是不变的，即灵活运用数列的基本公式及定义来论证相关问题.所以教师在平时教学中要把教材中的概念和例题，作业要真心作为可能的高考题“源”来认真研究，让复习回归数学教学的本真.

3.重视一题多解，加强变式训练

少一些题目堆积，多一些知识点综合、迁移、转化.看过高考试题，感觉高三一年复习下来，费力不讨巧.教学要达到学生会做这个目的，不仅在于多练，还要重视一题多用，以少胜多.在教学中首先思考试题的本源在哪，解决的方法有哪些，常规的方法是什么，通过比较又有什么收获，改变问题可以命制新的问题等，总之，方法不在巧，重在得当.只有平时扎实的训练与对比反思才能为高考中合理解题提供帮助！

总之，在平时的数学教学中，教学放低起点，重视概念、本质、理解、应用.重视知识间的联系，加强其综合应用，不一定非是多个知识点的整合，两个知识点都可以，重要的是联系、迁移学生的认识与感悟，锻炼学生学习及思考的能力.难题实际上是综合性强的题目，“会者不难”，考查学生对于方法的认识和理解，是学生思维的考查.双基教学，对于基础知识应回归课本，更加基础，不是加大难度和深度.基本技能应更加重视其形成，多进行纵向的延伸.