基于区间-粒子群算法的油纸绝缘等效电路参数计算

李安娜，蔡金锭，甘 露，曾静岚

(福州大学电气工程与自动化学院，福建 福州350108)

1 引言

油纸绝缘老化状态的研究对确保电力变压器安全运行具有重要的意义［1］。回复电压测量方法是一种研究绝缘材料缓慢弛豫过程的时域方法［2］，它可以有效地诊断绝缘的老化和受潮状态。变压器绝缘老化受潮都会引起回复电压特征量的变化［3，4］。试验方法可以定性地分析变压器绝缘状态，但要更确切地利用介质响应特征量诊断变压器油纸绝缘状态，仍需要进一步深入分析特征量与绝缘老化机理的关系。目前，一些学者从等效电路模型及其参数变化的角度去分析特征量的变化规律，从而辅助分析油纸绝缘老化机理。因此，准确地辨识等效电路参数对后续研究油纸绝缘老化起到至关重要的作用。Xu Shuzhen等在文献［5］中建立了回复电压特征量辨识参数的数学模型，但其复杂的积分运算和较高要求的采样频率给参数计算带来一定的困难。文献［6］使用回复电压最大值和对应的峰值时间有效地求解出等效电路的元件参数，但它的计算公式较为复杂，需要的已知量较多。本文使用初始斜率特征量辨识介质响应等效电路参数的数学优化模型，该模型无需采集大量的数据，且计算简单、准确。

以上几种参数计算法均是建立在未考虑仪器误差及测量误差的等效电路上，显得不够严谨精确。实际测试中给定的充电电压会有微小的波动，引起介质内部电场的不稳定，因而各测量特征量也会随之变化。现场测量和实验室试验结果表明，充电电压变化时，峰值测量时间几乎不变，但充电电压发生微小波动时会对回复电压最大值和初始斜率同时带来线性比例的误差。若未考虑这些误差，测量获得的回复电压特征量不仅无法真正反映油纸绝缘老化特性，而且由其辨识得到的等效电路模型也将有所偏差，对油纸绝缘老化状态评估结论带来一定的不确定性。所以，等效电路区间参数计算是本文研究的重点。区间算法能将误差考虑在内，使得区间参数能够被直接包含在计算中，从而计算出有效的区间值，因此本文提出利用区间-粒子群算法对绝缘系统等效电路区间参数进行计算，该算法利用了区间算法的区间确定指导性和粒子群算法的随机搜索性及经验更新能力，实现过程量的区间优化［7］。这样，利用区间-粒子群算法就能有效地求解出元件参数的可行区间值。

2 区间-粒子群算法

2.1 区间算法

此外，定义

区间算法的主要内容还包括函数的区间扩展、区间算子构造等等。自Ramon E．Moore提出区间数学以来，学者们在其基础上发展衍生出了区间分析这一近代数学的分支，它可以用来求解非线性方程组，整体优化等。但由于区间算法的执行效率较低，适用性不够强，近几年部分学者尝试将区间算法与智能算法相结合，利用区间算法的稳定性和智能算法的高效性解决优化问题。

2.2 区间-粒子群算法

本文采用的区间-粒子群算法(I-PSO)［7］兼具了二者的优点，放弃了传统区间优化中的二分定界过程，在保留区间算法其余过程的基础上，利用粒子群随机搜索性及经验更新能力进行目标区间和各变量区间的定界，有效地利用了区间的确定指导性和PSO较强的全局优化能力及控制参数少、算法简单、效率较高的特点进行全局优化。

2.2.1 算法关键步骤和公式说明

(1)初始化，包括粒子区间位置和区间速度。设粒子群由M个随机粒子构成，如第i个粒子的位置矢量为:

式中，D为群体的维数，每一维都有上下区间。

(2)求出各种群中心位置，通过中心选择机制求出最小中心位置，同时也将位置区间值代入目标函数，产生适应值区间。

更新位置和速度的基本公式［8］采用带有收缩因子k的方式，公式为:

式中，i=1，2，…，M;d=1，2，…，D;Vkid为粒子的速度;pbestid和gbestid分别表示粒子群的局部和全局最优位置;xkid是粒子的当前位置，其值位于两区间值之间;c1、c2为学习因子，k为收缩因子，本文取c1=c2=2.05，k=0.729。

在每次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己的位置、局部最优区间位置pbest和全局最优区间位置gbest。本文关键步骤之一就是在适应值区间宽度不满足精度要求时，缩减pbes t宽度，gbest宽度也会相应缩减，如下:

式中，pbest(j)指局部最优区间位置上界值;pbest(j+1)指局部最优区间下界值;r为指定的缩减宽度，r根据具体情况的需要可以为固定值，也可以根据迭代次数的增加而减少。

2.2.2 算法流程图

区间算法和粒子群算法两者相辅相成，在算法的每一步中都体现了区间和粒子群的结合，其算法的流程如图1所示。

3 油纸绝缘系统等效电路模型

目前常采用基于扩展德拜模型［9］的介质响应等效电路对变压器油纸绝缘进行研究，等效电路如图2所示。

等效电路模型包括几何等效电路和极化等效电路，几何等效电路中Rg是油纸组合绝缘严格物理意义上的绝缘电阻，反映油纸组合绝缘的电导情况;Cg是绝缘系统的几何电容。极化等效电路由多条RC串联支路并联而成，Rpi、Cpi元件代表不同弛豫过程的极化电阻和极化电容，模拟了不同弛豫时间τi=RpiCpi下的介质极化现象。

在利用回复电压测试仪测试变压器回复电压的过程中，充电电压U0会有微小的波动，根据仪器精度，U0误差可取为±1V，由此测量出的回复电压特征量也存在误差，计算时根据实际测量数据采取合适的误差范围。用这些区间值代入数学公式进行拟合计算后，辨识出的结果仍然是区间值。因此图2中的等效电阻和电容用区间值表示。

图1 区间-粒子群算法流程图Fig．1 Flow chart of interval-particle swarm optimization algorithm

图2 基于扩展德拜模型的介质响应等效电路Fig．2 Dielectric response equivalent circuit based on extended Debyemodel

4 基于区间-粒子群算法的等效电路区间参数计算

4.1 几何电容C g和极化电阻R p i、极化电容C p i的辨识

在油纸绝缘介质两端加上直流高压U0，充电tc时间，然后将介质两端短接，放电td时间，根据电路的基尔霍夫定律和电路换路定律等可以得到［10］:

式中，Ur为测试得到的回复电压值。式(12)中含有除绝缘电阻Rg外的2n+1个未知参数，因此，至少需要进行2n+1次的回复电压测量，组成含有大于等于2n+1个方程的方程组才能求解出未知数。

将测量后列出的非线性方程组的求解转化为数学优化问题，构造出目标函数F1(X):

回复电压初始斜率是通过回复电压仪器测试得到的，在测试的过程中由于仪器和测量的误差，对于给定的直流电压U0和测试得到的回复电压初始斜率都存在一定的偏差，两者用区间值表示。然后利用上述的区间-粒子群算法辨识出电路的区间参数，将式(13)作为I-PSO算法的目标函数。

4.2 绝缘电阻R g的辨识

上述的求解不包含绝缘电阻Rg。通过回复电压峰值Ur(tpeak，tc，td)的计算公式逆推绝缘电阻是极其复杂的。代入峰值测量时间tpeak的回复电压峰值Ur(tpeak，tc，td)的计算公式［10］为:n

式中式中，j，k=1，…，n+1;i，l=1，…，n;ki中的N和D可以从等效电路模型的分析中求得，它们是参数Rg、Cg、Rpi和Cpi组合的乘积;p和z分别为文献［10］网络函数方程的极点值和零点值。

同样可以通过优化算法，将回复电压峰值和对应的峰值测量时间作为已知量，寻找计算结果与测量结果吻合度最优的绝缘电阻值。考虑到回复电压计算公式极其复杂，若采用区间-粒子群算法计算较为困难，又因为未知数只有一维，故仅取区间中任意一点的值，利用粒子群优化求解绝缘电阻。此时目标函数式可表达为:

式中，Ur(tpeak，tc，td)为计算的回复电压峰值;Urmax为测量的回复电压峰值;m为测量循环的次数。

5 辨识实例

本文使用自动回复电压测试仪RVM5461对一台220kV的油纸绝缘电力变压器进行了实验测量，变压器T1基本信息如表1所示。

表1 变压器基本信息Tab．1 Basic information of transformer

测量过程中温度保持在(30±2)℃，测量时采用直流充电电压U0为2000V，tc/td=2。通过多次测试获得了不同充电时间tc下的回复电压初始斜率d Ur/d t，变压器T1高压侧测得的数据如图3所示。根据仪器精度，U0误差可取为±1V，考虑到充电电压最大值为2000V，本文在计算过程中取U0=［1999，2000］，回复电压初始斜率真实数据大于10V/s的误差取为±0.1V/s，数据在1～10V/s之间(包括边界)误差取为±0.01V/s，数据1V/s以下的误差取为±0.001V/s，确保误差合理。

图3 回复电压初始斜率曲线Fig．3 Curve of initial slope of recovery voltage

一般等效电路中极化支路数越多，计算结果与试验数据的吻合度越好，但是随着支路数的增加，未知数也会增加，这将使参数计算更加困难。T K Saha等对容量为45MVA的变压器进行极化去极化电流测试，模型采用6条极化支路时的计算结果已能较准确地吻合试验数据［11］。因此，本文采用6条极化支路的扩展德拜模型等效电路进行计算分析。这样，利用上述的区间-粒子群算法对含有13个未知数的非线性方程组进行优化求解，优化目标函数采用F1(X)，优化结果如表2所示。

表2 优化求解得到的等效电路参数区间值Tab．2 Obtained interval values of equivalent circuit parameter

对于绝缘电阻Rg的求解采用前文所述的求解方法，利用构造的目标函数F2(X)寻找计算结果与测量结果吻合度最优的绝缘电阻Rg。求绝缘电阻时需要带入之前已经求出来的参数值，它们只要取区间内的任意值即可，表3给出不同参数取值下的绝缘电阻Rg。

采用区间-粒子群算法求解，不仅考虑了仪器和测量的误差，而且求得的目标函数值趋于最优值，区间收敛到相对小的空间，能较好地得到优化结果，验证了区间-粒子群算法在变压器绝缘介质响应电路参数计算中的适用性，但求解的参数是否可行还需要进一步的验证，本文采用文献［6］的方法从等效电路模型中计算极化谱。图4给出不同参数取值下变压器极化谱测量值与计算值的对比结果。由图4可知，它们的测量值和计算值在某些点存在误差，但误差范围都非常小，总体上计算极化谱和测量极化谱的参数值在一定程度上都能准确对应变压器等效电路模型。同时，从图4的放大部分可以看出，区间中点值计算的极化谱夹在用上下界计算的极化谱中，符合区间算法的包含原理［12］。

表3 各种情况下的绝缘电阻Rg值Tab．3 Value of insulation resistance in all of above situations

图4 不同参数取值下极化谱测量值与计算值的对比图Fig．4 Comparison of calculated and measured values using different parameters

图5 不同算法下变压器极化谱测量值与计算值的对比图Fig．5 Comparison of calculated and measured values using different algorithms

最后，为了说明区间-粒子群算法的优越性，图5给出粒子群算法PSO和区间-粒子群算法I-PSO得到的计算极化谱与测量极化谱的对比结果。由图5可知，由I-PSO参数计算结果得到的计算值与测量值更加吻合，更能准确反映极化谱特征。这也说明了传统的粒子群算法计算参数时没有考虑设备误差和测量误差，不能得到更为准确的数值，对油纸绝缘老化状态的评估结论带来一定的不确定性。

6 结论

由于实际仪表测量过程中不可避免存在误差，传统的粒子群算法计算变压器等效模型参数不可能得到更为准确的数值，使得变压器绝缘老化状态与参数间的关系不够严谨。本文打破传统粒子群算法的局限，引入区间的算法，在进行参数辨识过程中，考虑到由仪表带来的测量误差，同时不断采用区间思路逼近最优解区间，整个过程加快了算法收敛。利用区间-粒子群算法不仅可以得到变压器等效电路参数的最优解，还可以得到各个参数的最优可行区域，搜索精度提高。最后通过仿真证明了回复电压测量极化谱与计算极化谱是吻合的，验证了等效电路模型的准确性和区间-粒子群算法进行参数计算的适用性。等效电路参数的准确计算为后续研究变压器绝缘老化与区间电路参数的关系奠定了基础。

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