重视平面向量四化 提升数学思维品质

戴宏照+周密

平面向量是高中数学的基础知识，具有广泛的应用，是高考的必考考点. 而且近年的相关试题越来越灵活，凸显对学生能力的考查，有部分学生感觉难以下手，或者不得要领，无果而终.为此，我们认为在平面向量的学习或复习中，应重视平面向量“四化”，即图形化、坐标化、数量化、函数化，加强针对性训练，培养学生思维的目的性、深刻性、广阔性、灵活性和批判性，提升思维品质和解决问题的能力.

一、平面向量图形化

平面向量具有代数和几何的双重属性，解决向量问题要充分利用图形的直观性，用好基底、向量加减运算的三角形法则和平行四边形法则，数量积运算的垂直或圆的几何意义或性质来构造相应的几何图形.平面向量图形化体现的是数形结合的数学思想.

例1  已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4，若存在非零实数x，y，使得=x+y，且x+2y=1，记∠BAC=θ，则cosθ=           .

思维展示：=x+y，且x+2y=1，联想到P，A，B三点共线的充要条件是=λ+μ，其中λ+μ=1.如图1，取AC中点D，上式变为=x+2y外心O在中线BD上？圯BA=BCcosθ=.

例2  在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，a=b=1，a·b=0，点Q满足=（a+b），曲线C={=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={0

A. 1

C. r≤1

思维展示：由a，b是垂直的单位向量，可考虑设a=（1，0），b=（0，1），透过向量的形式认识其本质，Q点的坐标为（，），曲线C就是单位圆，区域Ω就是半径从r到R（含边界）的圆环（如图2），从图中容易看出满足1

例3  已知点P是△ABC的中线AD的中点，过点P作直线交边AB，AC或其延长线于E，F两点，若AE∶AB=m，AF∶AC=n.求证：+是定值.

思维展示：如图3，这是点P分线段EF的一个分点问题，对向量算两次、列方程得到m，n的关系.设基底向量=a，=b，由AE∶AB=m，AF∶AC==m=ma，=n=nb，P，D分别是线段BC，AD的中点==（+）=a+b;E，P，F三点共线=λ=λ（-）=-λma+λnb=+=（1-λ）ma+λnba+b=（1-λ）ma+λnb（1-λ）m=，λn=+=4（定值）.

拓展引申：若=，即点P与点D重合，则+=2;若=，即P是重心，则+=3;进而可得：若=k（k是常数），则+=;进一步，若=t，=k（t，k是常数），则=（1-t）+t=k=（1-t）k+tk，而=+=（1-λ）m+λn圯（1-λ）m=（1-t）k，λn=tk+=（定值）.[1]

以上三个例题都借助图形来解决向量问题，都体现了思维的目的性，例1侧重于思维的灵活性，例2侧重于思维的深刻性，例3拓展引申侧重于思维的批判性和广阔性.

二、平面向量坐标化

坐标法是把几何问题代数化的直接方法，平面向量坐标化是建立坐标系通过坐标运算来解决向量问题的方法，它是解决向量问题最重要的方法和最有效的方法之一.平面向量坐标化把向量问题转化为代数问题、把生疏的问题转化为熟悉的问题，体现的是转化和化归的数学思想.

例4  在平面上，⊥，==，=+.若<，则的取值范围是

思维展示：先考虑以O还是以A为坐标原点建立坐标系？考虑到⊥，建立如图4坐标系，设B1（a，0），B2（0，b），O（x，y），则P（a，b），根据已知条件用所设坐标来表示向量的模：2=（x-a）2+y2=2，2=x2+（y-b）2=2，2=（x-a）2+（y-b）2<，利用不等式的性质和放缩法得到x2+y2=4-[（x-a）2+（y-b）2]

例5  已知向量a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a+c）·（b+c）≤0，则a+b-c的取值范围是

思维展示：是图形化还是坐标化值得推敲和比较由于（a+c）·（b+c）≤0表示的是圆面的复杂性考虑坐标化更容易入手.建立坐标系如图5，设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），则c==1，c表示以O为起点，终点在单位圆上的向量，（a+c）·（b+c）≤0，得（x+）2+（y+）2≤是一个圆面P，同时满足这两个条件的向量c的终点在单位圆位于圆面P内的劣弧上.记=a+b=（1，1），=c，a+b-c=c-（a+b）=-=圯≤≤圯≤≤1+.

以上两例利用坐标系方法的选择体现了思维的灵活性和批判性，而解题过程中知识的相互联系体现了思维的广阔性，从中也可以看出思维品质的几个特性是相互联系的，相互渗透的，坐标化与图形化不是孤立的，而是统一的.

三、平面向量数量化

平面向量数量化就是利用平面向量数量积把向量问题转化为熟悉的数量问题. 平面向量数量化除解决向量的模、夹角、垂直等问题外，还能解决向量中的最值或参数范围、向量的终点区域等问题.向量数量化的方式主要有数量积的定义、平方、投影、坐标法或点乘一个向量构造向量的数量积等.它使生疏的问题熟悉化，体现的是转化和化归的数学思想.

例6  平面向量a，b，e满足e=1，a·e=1，b·e=2，a-b=2，则a·b的最小值为

思维展示：是选择图形化、坐标化还是数量化？要求a·b的最小值，可考虑对a-b=2两端平方，得a2-2a·b+b2=4 ①，a≠b，要消去a2+b2，考虑利用向量不等式a·b≤ab，于是由e=1，a·e=1，b·e=2，得（a+b）·e=3 ，而a+b≥（a+b）·e=3，两端平方得a2+2a·b+b2≥9  ②，把②式减①式得4a·b≥5，即（a·b）min=，当且仅当a+b与e同向时取等号.

例7  如图6，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧上的一个动点. 若=x+y，则x+4y的取值范围是

思维展示：本题可用坐标法，也可用平行四边形法则极限位置分析，还可把已知的向量等式两边同时点乘一个向量构造数量积.设∠COA=α，则∠BOC=60°-α，α∈[0，■]，扇形的半径为1，■=x■+y■？圯■·■=x■■+y■·■，■·■=x■·■+y■■

圯x+y=cosα，x+y=cos（60°-α）圯≤x+y≤1，≤x+y≤1，又x+4y=-（x+y）+（x+y）？圯1≤x+4y≤4. 有结果并不是解题结束，由于cosα和cos（60°-α）不能同时取到最大值或最小值，因此，有必要检验结果，当C与A重合时最小，C与B重合时最大.

在涉及圆弧或三角形的“四心”的向量问题中，可通过点乘一个已知向量使向量问题数量化，通常是圆弧点乘一条已知半径的方向向量，垂心点乘和它垂直的对边的方向向量，外心点乘其中的一个已知边的方向向量，重心可先线性运算用基底表示.这种转化方法可作为数量化的一个技巧.向量模的问题平方是通法，而投影则能把模与夹角两种变化转化成投影的变化，解决与动点有关或变量较多时的向量问题，能有意想不到的效果.这些都是思维的灵活性与广阔性的表现.

四、平面向量函数化

向量的作用在很大程度上表现为其作为解决问题的工具，以向量为背景的很多问题实质是函数问题，如参数的范围或最值，这些问题应该回到函数方法来解决.平面向量函数化体现的是函数与方程的数学思想.

例8  如图7（1），在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，A=90°，=m，=n，m，n>0，且+=，M是BC的中点，对任意的λ∈R，λ+的最小值记为f（m），则对任意的m>0，f（m）的最大值为

思维展示：这个问题感觉有些难度，若以，为基底转化为λ，m的函数，计算量很大，于是看能否从向量的几何意义入手来转化，尽量减少复杂的计算.设θ=<，>，则λ+2=λ2+2λ·+=（λ+）2-

+=（λ2+）2+

sin2θ？圯f 2（m）≥sin2θ？圯f（m）=sinθ，其几何意义是点M到直线QP的距离.因此，建立坐标系如图7（2），P（0，），Q（，0），M（，2），直线QP的方程：（6m-4）x+（3m+3）y-12m=0？圯f（m）=

==？圯f（m）max

=f（）=.

在解题过程中，紧紧抓住函数思想，求λ+QM的最小值转化为二次函数，求f（m）的最大值转化为比较复杂的分式函数.解题方法的选择具有灵活性和批判性，知识的转化具有广阔性，透过现象看本质是思维的深刻性.

数学学习不只为解题，在解题过程中领悟数学思想和方法，提升数学思维品质，提高用数学思想分析和解决问题的能力才是最重要的.

参考文献：

[1] 戴宏照.利用向量“算两次”求解分点问题[J].中学生数学，2013（7）：21.endprint