二维渗流模型中最大团簇面积与导通比例关系的数值研究

王许丞 高军晖

摘 要：该文用数值方法研究二维渗流模型中不同导通比例下最大团簇的变化规律。我们先介绍了渗流模型的两种形式——键模型和位模型；然后通过数值模拟的方法产生边长为L个单位、导通比例为P的二维正方形位渗流，最后统计出最大团簇的面积与P的关系。研究发现，无论L取何值，最大团簇的面积都会随着P值的增加而增加，并且随着L值的增大，曲线变得越陡。同时，P值在0.6附近，最大团簇面积显著增加。我们在最后的讨论部分，讨论了临界概率及其三种计算方法。

关键词：渗流模型位 渗流导通比例 最大团簇数值 模拟

中图分类号：O346 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）12（c）-0156-02

1 渗流与渗流模型

在多空介质中存在大量随机分布的细小通道（毛细管），流体能否穿透介质就归结为这些细小的通道是否联通的问题，是一种随机性问题。

渗流模型，也称为逾渗模型，是Simon Broadbent 和 John Hammersley在1957年提出的一种模拟流体能否穿透一块多空介质（如火山岩）的数学模型[1]。而渗流状态，是指系统中出现了一个大的团簇，能够将这些格点的上下两个边界或左右两个边界渗透或打通。渗流模型是临界现象的概率模型。由于其研究方法和结果易推广到其他的随机媒介以及本身含有大量容易描述但难处理的公开问题而备受数学家和物理学家的青睐。

渗流模型在很多应用科学和工程技术领域有广泛作用。如土壤力学、地下水水文学、石油工程、地热工程、给水工程、环境工程、化工和微机械等等。

2 渗流模型的构建

渗流模型的空间结构是规整的网格结构，该文讨论的是二维正方形网格上的渗流模型。

渗流模型有两种，分别是键渗流模型和位渗流模型[2]。

键渗流模型关注的是网格的边，称为键。网格上的每根键独立地以概率P开通，以概率1-P闭锁。用黑线表示网格的边是开通的键，而空白的边是闭锁的键。图1是P=0.25的一个例子，图2是P=0.75的一个例子。显然，P的值越大，键的密度就越大。

相互连通的黑线键构成一个簇。其中有一个连通介质左右边界的最大簇（称为巨簇），形成了介质的穿透（即渗流）。这种模型也被称为键渗流。

渗流模型的另一种方式是位渗流，它关注网格的格点（称为位）是否被占据，而不是边的开通与否。假设每个格点独立地以概率P被占据，以概率1-P未被占据[3]。

如果那些被占据的格点彼此相邻，则它们就形成一个簇。相邻的判断准则与元胞自动机一致，这里采用冯-诺依曼（Von.Neumann）型，即一个元胞的上、下、左、右相邻四个元胞为该元胞的邻居[4]。

图3中，一共有5个团簇，从上往下、从左往右，5个团簇的面积分别是2、7、1、4、1个单位。最大团簇的面积为7。

下面，将分析P值对位渗流最大团簇大小的影响。

3 模拟方法与结果

用数值方法进行模拟，可以得到L值以及P值变化时模型的整体情况。

对P取0.1～0.9之间的整十分位数，对于每个P值都进行了20次模拟，然后计算出与每个P值对应的最大团簇的平均面积，最后将其与总面积相比得到相对值。

模拟了L值分别为10、20、50、100以及200时，最大团簇的面积随P值而变化的情况。统计得到的结果见表1。表1中，L值分别为10、20、50、100、200。

4 结果分析

接下来，对所有得到的数据描点作图，就可以得到L取某值时，最大团簇面积与总面积比值的变化规律，见图4。

图4中，横坐标是P值，纵坐标是最大团簇的平均面积与总面积相比得到相对值。从图4中可以发现，无论L取何值，最大团簇的面积都会随着P值的增加而增加，并且随着L值的增大，曲线变得越陡。图5描述了不同P值情况下，最大团簇面积的变化值。

从图5中可以发现，除了L=10，变化值最大出现在P值为0.7的位置，其余四种尺度下，变化值最大均出现在P值为0.6的位置。并且随着L值的增大，最大的变化值也增大。

5 讨论

事实上，在二维正方形方格上的位相变临界概率Pc出现在0.6附近，为0.59274621。

当存在一个连通左右边界的簇时，我们就说出现了渗流。很显然，概率P将会是一个决定染色格子和键数量的关键参数。如果初始染色格子或键密度较大，则容易形成较大的团簇，反之，如果密度较小，就很难形成大的团簇。

在一个无限大的格点世界中（L无穷大），存在一个临界的概率Pc，当P小于Pc的时候，系统不能形成渗流，而当P大于Pc的时候，系统可以形成渗流。那么这个Pc就是临界概率。

计算临界概率的方法有多种。第一种方法是通过一种叫重整化的方法近似计算出临界概率[5]。第二种方法是通过写出在L无穷大情况下，任意一个格点隶属于一个无穷大的渗流团簇的概率表达式，来求得临界概率的Pc大小。第三种方法，即该文采用的数值方法，通过研究二维渗流模型中不同导通比例下最大团簇的变化规律，可以认为，最大团簇面积变化值最大处对应的P值，就是临界概率Pc。

参考文献

[1] Broadbent，Simon；Hammersley，John，“Percolation processes I.Crystals and mazes”[Z].Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1957，53：629-641，

[2] 肖柳青，周石鹏.随机模拟方法与应用[M].北京大学出版社，2014.

Xiao L Q and Zhou S P， Stochastic simulation method and its application[Z].Peking University Press，2014，246-249.

[3] Kim Christensen and Nicholas R. Moloney，Complexity and Criticality[Z].Published October by Imperial College，2005：3-4.

[4] Burks A W（editor）.Essay on Cellular Automata.Urbana， IL： University of Illinois Press，1970.Yoshio YugeH，Renormalization-group approach for critical percolation behavior in two dimesions[J].Phys Rev（B），1978，18：1514-1517.