基于二次重现期的多变量洪水风险评估*

黄 强，陈子燊

(中山大学水资源与环境系，广州 510275)

基于二次重现期的多变量洪水风险评估*

黄 强，陈子燊**

(中山大学水资源与环境系，广州 510275)

由于洪水是一种具有多个特征属性的随机事件，频率分析成为洪水风险评估的一种有效手段，多变量重现期与设计值的定义与计算则是洪水频率分析中的重点和难点.本文通过构造洪水历时、洪峰与洪量的联合分布，介绍了一种新的多变量重现期定义——二次重现期，并探讨了“或”重现期、“且”重现期和二次重现期对安全与危险域识别的差异性，以及在洪水风险管理与工程设计中的合理性与可靠性.传统的“或”和“且”多变量重现期对安全与危险域的识别存在局限性，利用Kendall函数定义的二次重现期则提供了更加合理的安全与风险域识别，避免了对安全事件与危险事件的错误判定，更有利于指导洪水风险的管理.在给定的二次重现期条件下，依据出现概率最大原则推算的历时、洪峰与洪量设计值组合可以满足工程设计以较低成本承受较大风险的追求，相比于单变量设计值，考虑了洪水多个属性联合特征的多变量设计值提供了更加全面和可靠的参考信息.

多变量洪水特征；极值分布；安全与危险域；Kendall函数；二次重现期；多变量设计值

洪水作为一种自然灾害事件，每年造成的经济损失数以亿计，如何控制洪水并减少损失一直是灾害风险管理的重点.由于洪水事件发生的随机性，频率分析成为洪水风险评估的一种有效手段，重现期与设计值的定义与计算则是频率分析中的重点.同一个洪水事件前后两次发生的平均间隔时间即为该事件的重现期，若把该洪水事件造成的破坏和影响(以下称效应)作为洪水风险管理与工程设计的标准，重现期更大的洪水事件则可视为该标准下的危险事件.传统的单变量频率分析并不能满足洪水事件多个特征属性的特点，随着Copula函数在水文分析中的应用，多变量的洪水频率分析已成为近年来的研究热点[1-4].与单变量重现期相比，多变量重现期的定义则要复杂得多，“或”和“且”定义法[5]是目前最常用的两种多变量重现期定义方法，但在安全事件与危险事件的判定上，两者都存在局限性[6].Salvadori等[6]在“或”和“且”多变量重现期定义法的基础上，基于安全与危险域的概念提出了新的多变量重现期定义——二次重现期，相关概念与定义已在海岸工程设计的研究中有了初步的应用[7-8].

本文以东江下游博罗站点为例，介绍多变量重现期新的定义与计算方法，通过分析传统重现期与二次重现期在安全与危险域识别的差异性，探讨二次重现期在洪水风险应用的合理性与可靠性.本文的目的在于理论方法的介绍与探讨，为洪水风险管理与工程设计的研究提供一种新的思路和方法.

1 洪水特征属性

洪水事件具有多个特征属性，其中最重要的是历时、洪峰和洪量.一场洪水的选取关键在于辨别洪水开始和结束的时间，当流量开始增加并超过了基流量时即可认为是洪水开始发生，当流量又退落到基流量时即意味着洪水的结束.然而，由于每一场洪水的基流量都不一样，实际上要准确地辨认出基流量是十分困难的，一般可以将流量突然并持续增加的时刻看作是洪水开始的时间，将流量突然下降并退落至起涨流量或稳定流量的时刻看作是洪水结束的时间[9].

洪水的特征属性可以按照流量过程线来提取，如图1所示，流量从突然增加到退落至稳定所经历的时间为洪水历时D(d)，其间最大的流量即为洪峰流量Q(m3/s)，所增加的水量为洪水总量(洪量)V(斜线部分面积，日m3/s).历时和洪量可分别根据下式计算[9]：

D=te-ts

(1)

(2)

式中，ts和te分别为洪水开始和结束的时间，q为日流量观测序列.

图1 洪水过程及相应的特征属性Fig.1 The flood hydrograph and characteristics

2 边缘分布与联合分布

洪水频率分析中的样本序列主要通过年最大抽样的方法从每年发生的洪水事件中选取，选取的年最大洪水事件可认为是极值事件，根据极值理论，极值事件应服从极值分布[10].极值理论中的单元极值分布为广义极值分布(GEV)，其分布函数为：

(3)

式中，μ、σ和k分别为位置、尺度和形状参数.

与传统的多变量分布函数相比，Copula函数具有简单灵活的结构特点，并且不受边缘分布的限制，是一种可以适用于多个变量间不同相关结构的多变量分布函数[11].Archimedean copula是水文分析中最常用的Copula函数族，其基本形式为：

(4)

式中，uj∈[0， 1](j>1)为边缘分布，φθ为Archimedean copula生成元，θ为参数.当C满足下式时，则C是一个多变量极值分布[13].

(5)

可以证明Gumbel-Hougaard copula满足上式，并且是Archimedean copula中唯一的多变量极值copula[12-13]，其结构形式为：

(6)

仅当边缘分布和Copula函数均具有极值性质时，构造的联合分布才是极值分布[13]，可用于极值事件的频率分析中.

3 多变量重现期与分位值

3.1 传统多变量重现期

在传统的多变量重现期定义中，E∨对应的重现期为“或”重现期T∨，E∧对应的重现期则为“且”重现期T∧.年最大洪水事件的3变量“或”重现期和“且”重现期可分别由以下两式计算：

(7)

(8)

假设E的安全率为Psafe(危险率则为1-Psafe)，在Psafe=p的条件下，以两变量的情形进行阐述，“或”重现期和“且”重现期对安全与危险域的识别如图2所示.在相同安全率的情况下，“或”重现期和“且”重现期标准下不同的分位值组合对应的安全与危险域都不一样.

图2 “或”重现期(a)和“且”重现期(b)的安全与危险域识别(灰色部分为危险域)Fig.2 Identification of safe and dangerous regions for “OR” return period(a) and “AND” return period(b) (the grey part represents the dangerous one)

一般地，设计的重现期越大，相应的危险率就越小，设置的灾害防御标准遭遇的风险就越低.就此而言，“或”重现期和“且”重现期识别的安全与危险域显然具有局限性[6].如图3a所示，对于“或”重现期，A点处的重现期大于B点(p1>p2)，而A点识别的危险域却有一部分在B点识别的危险域之外(深灰色部分)，即当事件E*发生时，若以B点的组合值作为灾害防御的标准则可以认为E*是安全的，E*造成的效应在防御

的标准之下；若以重现期更大的A点组合值作为灾害防御的标准则E*显然是危险事件.高风险的防御标准识别的安全事件却被更低风险的防御标准识别为危险事件，这显然是矛盾的.对于“且”重现期(图3b)，A点处的重现期小于B点(p1

图3 “或”重现期(a)和“且”重现期(b)对安全危险域识别的局限性Fig.3 Limitations on the identification of safe and dangerous regions for “OR” return period(a) and “AND” return period(b)

3.2 分位值曲面

3.3 二次重现期

(9)

TK称为二次重现期(Secondary return period)或Kendall重现期，KC为Kendall分布函数[16]：

(10)

(11)

对于三维Gumbel-Hougaard copula，Kendall分布函数可以表达为：

(12)

由公式(7)、(8)和(9)以及C的非递减性可知，单变量重现期、“或”重现期、“且”重现期和二次重现期四者的关系[14，17]为：T∨≤T≤TK≤T∧，当且仅当uj=0时，等号成立.

图4 二次重现期的安全与危险域识别 (灰色部分为危险域)Fig.4 Identification of safe and dangerous regions for secondary return period (the grey part represents the dangerous one)

3.4 多变量设计值

(13)

f(d，q，v)=c(ud，uq，uv)fd(d)fq(q)fv(v)

(14)

式中，c为三维Gumbel-Hougaard copula的概率密度函数，fd(d)、fq(q)和fv(v)则分别为历时、洪峰和洪量的概率密度函数.

综上所述，二次重现期条件下的洪水多变量分位值估算步骤可以总结为：

(2) 利用式(4)，计算所有使C(ud，uq，uv)=p成立的概率组合(ud，uq，uv)；

(3) 由式(15)计算出使f(d，q，v)达到最大值的一组(ud，uq，uv)；

(4) 最后分别再根据边缘分布的反函数推求出历时、洪峰和洪量的分位值(dml，qml，vml)，dml=F-1(ud)、qml=F-1(uq)、vml=F-1(uv).

4 案例研究

博罗站位于东江下游，是东江流域重要的水文控制站点之一.本文选用博罗站1953-2010年的日流量观测数据作为研究资料，依据年最大极值理论，首先提取每年的最大日流量作为该年极端洪水事件的洪峰流量，以洪峰流量为基准，再按流量过程线提取并计算出该场洪水的历时与洪量，总共提取了58场洪水作为博罗站点多变量洪水频率分析的样本序列.历时与洪峰、洪量样本两两间的Kendall秩相关系数表明洪水特征属性间存在较强的相关性，其中，洪峰与洪量的相关性最大(0.665)，历时与洪量次之(0.623)，历时与洪峰则相对较小(0.355).

为了检验GEV和Gumbel-Hougaard copula构造洪水事件联合分布的合理性，选用水文分析中常用的对数正态分布(GNO)、广义逻辑斯特分布(GLO)和皮尔逊三型分布(PE3)，Clayton和Frank copula[12]分别对历时、洪峰和洪量样本进行拟合优度检验，并与GEV和Gumbel-Hougaard copula进行对比.选用的分布参数均采用极大似然法进行估计，拟合优度检验则依据Akaike信息准则(AIC)[7]，AIC值越小，代表拟合优度越高.选用的备选分布都通过了K-S检验，表明选用的分布都可用于样本的拟合.各种分布的拟合优度AIC值如表1所示，虽然拟合优度检验的结果并没有显示GEV和Gumbel-Hougaard copula对所有历时、洪峰和洪量样本以及它们间组合的拟合都是最优的(GEV对历时和Gumbel-Hougaard copula对历时与洪量组合的拟合为次优)，但从总体角度和出于极值分布的考虑，我们选用GEV和Gumbel-Hougaard copula分别作为边缘分布和多变量分布来构造洪水特征属性间的联合分布.图5和图6所示的GEV和Gumbel-Hougaard copula对历时、洪峰和洪量样本的拟合效果亦表明两者用于构造洪水联合分布是合理的.

表1 边缘分布与copula函数的拟合优度AIC值Tab.1 The AIC values for different marginal distributions and copulas

图5 GEV对洪水历时、洪峰和洪量样本的拟合优度Fig.5 The goodness of fit of GEV for flood duration， peak and volume

图6 Gumbel-Hougaard copula对洪水历时、洪峰和洪量样本的拟合优度Fig.6 The goodness of fit of Gumbel-Hougaard copula for flood duration， peak and volume

历时、洪峰和洪量保证率分别为96%、98%、99%和99.5%时的单变量重现期、“或”重现期、“且”重现期和二次重现期计算值如表2所示，在同一保证率水平下(保证率不为0)，二次重现期与“且”重现期相差较小，与“或”重现期则相差较大；保证率越小，二次重现期与“或”重现期和“且”重现期之间的差值则越小，随着保证率的增大，三者的差值逐渐增大.根据3.4所述步骤计算的25、50、100和200年重现期历时、洪峰和洪量的多变量设计值以及单独推算的单变量设计值如表3所示，单独推算的历时与洪量设计值均比多变量推算的大，而多变量洪峰设计值则要大于单变量设计值，并且随着重现期的增大，两者的差值逐渐减小.一场洪水造成的效应并不是由单个特征属性决定的，而是多个特征属性共同作用的结果，如高洪峰伴随大洪量的洪水造成的影响和破坏要比高洪峰伴随小洪量的洪水大，长历时高洪峰的洪水造成的影响和破坏要比短历时高洪峰的洪水大.再者，历时、洪峰与洪量之间的组合以及出现的概率又取决于它们间的相关结构和联合分布.因此，相比于单变量设计值，考虑了洪水多个属性联合特征的多变量设计值为防洪工程设计提供了更加全面和可靠的参考信息.

表2 同一保证率水平下的单变量、“或”、“且”和二次重现期计算值Tab.2 The calculation values of univariate， “OR， “AND” and secondary return periods in the same probability level

表3 25、50、100和200年重现期历时、洪峰和洪量的单变量与多变量设计值Tab.3 The design values for flood duration， peak and volume in a multivariate framework under the secondary return periods of 25， 50， 100 and 200 years， respectively

5 结论

1) 传统的“或”和“且”多变量重现期对安全与危险域的识别具有局限性，重现期与危险域范围大小的矛盾会造成对安全事件与危险事件的错误识别.

2) 根据C(ud，uq，uv)=p临界条件并利用Kendall函数定义的二次重现期，具有同一临界水平下任意历时、洪峰与洪量组合对安全与危险域识别的一致性，重现期越大，对应的危险域则越小，避免了对安全事件与危险事件的错误识别，更有利于指导洪水风险的管理.

3) 给定二次重现期条件下的洪水事件可以具有不同的历时、洪峰与洪量组合，在工程设计中，与每个特征属性同时取较大值相比，依据出现概率最大的原则推算的设计值组合可以满足以较低成本承受较大风险的追求.相比于单变量设计值，考虑了洪水多个属性联合特征的多变量设计值为防洪工程设计提供了更加全面和可靠的参考信息.

[1] 郭生练，闫宝伟，肖 义等.Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展.水文，2008，28(3)：1-6.

[2] Zhang L， Singh VP. Bivariate flood frequency analysis using the copula method.JournalofHydrologicEngineering， 2006， 11(2)：150-164.

[3] Zhang L， Singh VP. Trivariate flood frequency analysis using the Gumbel-Hougaard copula.JournalofHydrologicEngineering， 2007， 12(4)：431-439.

[4] 侯芸芸，宋松柏，赵丽娜等.基于Copula函数的3变量洪水频率研究.西北农林科技大学学报：自然科学版，2010，38(2)：219-228.

[5] Shiau JT. Fitting drought duration and severity with two-dimensional copulas.WaterResourcesManagement， 2006， 20：795-815.

[6] Salvadori G， De Michele C， Durante F. On the return period and design in a multivariate framework.HydrologyandEarthSystemSciences， 2011， 15：3293-3305.

[7] Corbella S， Stretch DD. Multivariate return periods of sea storms for coastal erosion risk assessment.NaturalHazardsandEarthSystemSciences， 2012， 12：2699-2708.

[8] Salvadori G， Tomasicchio GR， Alessandro FD. Multivariate approach to design coastal and off-shore structures.JournalofCoastalResearch， 2013， 65：386-391.

[9] Yue S， Ouarda TBMJ， Bobée Betal. The Gumbel mixed model for flood frequency analysis.JournalofHydrology， 1999， 226(1)：88-100.

[10] Salvadori G， de Michele C， Kottegoda Netal. Extremes in Nature： An approach using copulas. Dordrecht： Springer， 2007：15-30.

[11] Favre AC， Adlouni SE， Perreault Letal. Multivariate hydrological frequency analysis using copulas.WaterResourcesResearch， 2004， 40： W01101. doi：10.1029/2003WR002456.

[12] Nelson RB. An introduction to copulas： Second edition. New York： Springer， 2006：115-143.

[13] Salvadori G， de Michele C. Multivariate multiparameter extreme value models and return periods： A copula approach.WaterResourceResearch， 2010， 46： W10501. doi：10.1029/2009WR009040.

[14] Salvadori G， de Michele C. Frequency analysis via copulas： Theoretical aspects and applications to hydrological events.WaterResourcesResearch， 2004， 40： W12511. doi：10.1029/2004WR003133.

[15] Chebana F， Ouarda TBMJ. Multivariate quantiles in hydrological frequency analysis.Environmetrics， 2011， 22：63-78.

[16] Genest C， Quessy JF， Rémillard B. Goodness-of-fit procedures for copula model based on the probability integral transformation.ScandinavianJournalofStatistics， 2006， 33(2)：337-366.

[17] Graler B， van den Berg MJ， Vandenberghe Setal. Multivariate return periods in hydrology： a critical and practical review focusing on synthetic design hydrograph estimation.HydrologyandEarthSystemSciences， 2013， 17： 1281-1296.

Multivariate flood risk assessment based on the secondary return period

HUANG Qiang & CHEN Zishen

(DepartmentofWaterResourcesandEnvironment，SunYat-senUniversity，Guangzhou510275，P.R.China)

Frequency analysis is a useful tool for flood risk assessment， but the definition and calculation of return periods and design values in a multivariate framework are difficult tasks. In this paper， by constructing the joint distribution of flood duration， peak discharge and volume， we introduced the definitions of multivariate “OR”， “AND” and secondary return periods and discuss their differences in identifying the safe and dangerous regions in a critical level. The rationality and reliability of information provided from them in flood risk management and engineering design were then analyzed， respectively. The traditional “OR-AND” approach in multivariate return periods definition is limited in the identification of safe and dangerous regions， while the secondary return period based on the Kendall measure would be more rational. Consequently， mistakes in the recognition of safe and dangerous event can be avoided by the use of second return period， which， obviously， is better for the flood risk management. For a given second return period， the combination of flood duration， peak discharge and volume design values calculated from the most-likely approach， may have an advantage to meet the requirement that with low cost to bear greater risks in engineering design. Furthermore， the information provided from multivariate design values would be more considerate and reliable than the univariate ones.

Multivariate flood characteristics； extreme value distribution； safe and dangerous regions； Kendall function； secondary return period； multivariate design values

*国家自然科学基金项目(41371498)和广东水利创新基金项目(2009-41)联合资助.2014-02-27收稿；2014-08-11收修改稿.黄强(1989～)，男，博士研究生；E-mail：huangq52@mail2.sysu.edu.cn.

**通信作者；E-mail：eesczs@mail.sysu.edu.cn.