带混合整数约束特殊三次规划问题的全局最优性充分条件

陈 露

（重庆师范大学 数学学院，重庆401331）

全局最优化领域的基本理论研究之一是怎样刻画一个全局优化问题的解，全局最优充分性条件是用来说明一个解是全局最优解的一个重要理论依据.三次规划问题在金融、农业、证券投资组合等方面都有非常重要的应用［1－3］.Wu Z Y等［4］得到了带有混合变量的三次多项式优化问题的一些局部最优性条件和全局最优性条件，并给出了求解三次多项式优化问题的一个全局优化方法.Zhang X M等［5］研究了带箱子或二元约束的一类特殊三次极小化问题的全局最优性充分条件.本文利用L－次微分和L－正则锥，给出了带有混合整数约束的特殊三次规划问题的全局最优性充分性条件，而且得到了此类三次规划问题在一些特殊情况下的结果与文献［5－6］中的相应结论是一致的.同时用例子说明给出的最优性条件是很容易验证的.

1 预备知识

首先给出本文中所要用到的一些基本的定义与记号：R表示实线性空间，Rn表示n维欧氏空间.对于向量x，y∈Rn，x≥y⇔xi≥yi，i＝1，2，…，n，记号A≥B⇔B是半正定矩阵.用diag（q1，…，qn）表示对角元素为q1，…，qn的对角矩阵，设L为定义在Rn上的一些实值函数的集合.

定义1［6］（L－次微分）设f：Rn→R且x0∈Rn，l∈L，若f（x）≥f（x0）＋l（x）－l（x0），∀x∈Rn，则称l为f在x0处的L－次梯度.f在x0的所有L－次梯度的集合∂Lf（x0）称为f在x0的L－次微分.

注：若L是所有线性函数所成的集合，f是一个下半连续的凸函数，则∂Lf（x）＝∂f（x），这里∂f（x）指一般凸分析意义上的凸函数的次梯度.

定义2［6］（L－正则锥）对一给定的集合D⊂Rn和x0∈D，D在x0的L－正则锥是指：

注：若L是所有线性函数所成的集合，则NL，D（x0）＝ND（x0），这里ND（x0）一般指凸分析意义上的集合的正则锥.

2 主要结果

本文考虑如下特殊的三次规划问题：

其中b＝ （b1，...，bn）T∈Rn，a＝ （a1，...，an）T∈Rn，A ∈Sn，Sn是所有n×n阶实对称矩阵的集合，m是一个正整数，

引理1［6］令L是Rn上一些实值函数做成的集合，使对任意的l∈L有－l∈L.设∈U，若是问题（CP）的全局极小点.

本文令L为一些特殊的三次函数做成的集合，

文献［5］已经刻画了这类特殊三次函数的L－次微分，有如下命题：

命题1［5］则

其中

对Q：＝diag（q1，...，qn），qi∈R，i＝1，...，n，令

事实上，若1）和2）成立，明显有式 （4）成立.相反，若式 （4）成立，且 ∃i0∈I，yi0∈［0，m］或 ∃i0∈J，yi0∈ ｛0，1，...，m｝使得1，...，n，i≠i0，则x＝ （x1，...，xn）T∈U ，则有

这与式（4）矛盾.因此，式（4）成立当且仅当1）和2）成立.

注：条件［SC2］与文献［5］定理1给出的充分条件是一致的.

注：条件［SC4］恰与文献［6］定理1给出的充分条件是一致的.

例1 考虑如下三次问题（EX1）：

［1］Henin C，Doutriau J.A specialization of the convex simplex method to cubic programming［J］.Decis.Econ.Finance，1980，3（2）：61－72.

［2］Hanoch G，Levy H.Efficient portfolio with quadratic and cubic utility［J］.Journal of Business，1970，43（2）：181－189.

［3］Levy H，Sarnat M.Investment and Portfolio Analysis［J］.Journal of Finance，1972，27（5）：1198－1199.

［4］Wu Z Y，Quan J，Li G Q，et al.Necessary optimality conditions and new optimization methods for cubic polynomial optimization problems with mixed variables［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2012，153：408－435.

［5］Zhang X M，Wang Y J，Ma W M.Global sufficient optimality conditions for a special cubic minimization problem［J］.Mathematical Problems in Engineering，2012，Article ID 871741，1－16.

［6］Li G Q，Wu Z Y.Global optimality conditions for mixed integer quardratic programming problems［J］.Mathematica applicata，2011，24（4）：845–850.

［7］Wang Y J，Liang Z A.Global optimality conditions for cubic minimization problem with box or binary constrains［J］.J Glob Optim，2010，47：583–595.

［8］Quan J，Wu Z Y，Li G Q.Global optimality conditions for some classes of polynomial integer programming problems［J］.Journal of Industrial and Management Application，2011，7（1）：67–78，

［9］祈云峰，吴至友.混合整数二次规划的全局充分性最优条件［J］.重庆师范大学学报，2010，27（5）：1－4.

［10］李国权，吴至友.带有二次约束的一些非凸二次规划问题的全局最优性条件［J］.重庆师范大学学报，2008，25（3）：1－4.