基于随机共振和MIMO 技术的协方差矩阵频谱感知算法

赵晓晖，李晓燕

（吉林大学 通信工程学院，长春130012）

0 引 言

随着无线通信技术的飞速发展，频谱资源短缺问题日益凸显，严重制约现代无线通信技术的发展和应用。为了解决这一问题，1999 年，Mitola等［1－2］提出了认知无线电的思想。认知无线电技术通过动态利用空闲的频谱资源，可以有效地提高频谱的利用效率。而频谱感知技术在认知无线电技术中扮演着重要角色。正确的频谱感知是实现频谱动态利用的前提。

随机共振是在研究古气象冰川融化问题时提出的概念［3－5］。随机共振系统是一个非线性系统。当固定输入有用信号的幅值时，随着输入噪声信号强度的增加，随机共振系统的输出信噪比先增加后减小，即当噪声强度取合适值时，随机共振系统的输出信噪比最大。随机共振系统输出信噪比最大时，随机共振系统、输入有用信号强度和噪声信号强度达到匹配，噪声能量会向有用信号能量转移，从而使随机共振系统的输出信噪比增加。由于随机共振的这个优点，随机共振理论被应用于微弱信号检测问题中，并取得了很好的效果。鉴于随机共振可以检测微弱信号，一些学者将随机共振理论引入到认知无线电频谱感知问题中，以实现低信噪比条件下可靠的频谱感知［6－9］。

当信号使用MIMO 天线进行传输时，该信号会通过多条路径传送到接收端，而该信号在每条路径上都受到很大衰减的可能性很小，接收端总能获得相对满意的信号［10］。因此，MIMO 技术可以提供空间分集，使接收端获得更多的信号副本，有效抵抗信道衰落对通信造成的影响。因此将MIMO 技术应用到频谱感知技术中，在衰落信道条件下，该频谱感知算法仍然能取得很好的检测性能［11－12］。

由于能量频谱感知需要知道噪声的方差，而随机共振是很复杂的非线性系统，噪声通过随机共振系统后，很难计算出输出噪声的方差。为解决这一难题，文献［7］采用最大化检测概率的方法来确定随机共振系统输出噪声的方差。但是采用这种方法得到的噪声方差与随机共振系统输出噪声方差的真实值有偏差，这种偏差会影响到频谱感知的检测性能。基于协方差矩阵的频谱感知算法不需要任何主用户信号和噪声信号的先验信息［13］，而且还可以克服噪声不确定性带来的影响，因此，本文将随机共振理论和MIMO 技术应用到协方差矩阵频谱感知中，提出基于随机共振和MIMO 技术的协方差矩阵频谱感知算法。

1 系统模型

假设主用户具有M 根发射天线，认知用户具有N 根接收天线，如图1所示。

图1 系统模型Fig.1 System model

值得注意的是在随机共振系统中，要求输入信号s（t）的频率足够小［3］，而认知无线电中的信号不直接满足这一要求。但是，可先将高频信号变换为低频信号，然后再将此低频信号输入到随机共振系统中；或者对随机共振系统参数进行改进，使改造后的随机共振系统可以用于高频信号。有很多方法可以解决上述问题［14－16］。例如文献［14］通过尺度变换将高频信号转换为低频信号；文献［15］将随机共振系统的非微分项乘以某系数，使随机共振系统能够应用于高频信号；文献［16］则用二次采样的方法，将高频信号转换为低频信号。本论文的研究重点是将随机共振理论和MIMO 技术结合在一起来进行频谱感知，因此不再赘述将高频信号转换为低频信号的过程，直接令输入信号为：

式中f 的值很小。

认知用户第i根天线第n 时刻接收到的信号可以表示为：

式中：i＝1，2，…，N；xi（n）、sj（n）和ηi（n）分别为xi（nTs）、sj（nTs）和ηi（nTs）的简化表示，Ts为采样间隔；xi（n）为认知用户第i根天线第nTs时刻接收到的信号；sj（n）是主用户第j根天线发射、认知用户在第nTs时刻接收到的信号；hji是主用户第j 根天线和认知用户第i 根天线之间的信道增益；ηi（n）是认知用户第i根天线第nTs时刻接收到的噪声信号；H0表示没有主用户信号存在的情况；H1表示主用户信号存在的情况。假设sj（n）的均值为0；ηi（n）是均值为0、方差为的高斯白噪声；hji服从均值为0、方差为1的高斯分布。此外，假设认知用户不同天线接收的噪声信号相互独立，不同天线之间的信道相互独立，主用户信号和噪声信号互不相关，即：

2 本文算法

2.1 算法基本原理

由图1所示，首先将每根天线接收到的信号xi（n），i＝1，2，…，N，分别输入到随机共振系统中。以认知用户第i根天线为例，所采用的离散随机共振系统如下式［7，17］：

式中：随机共振系统的初值xiSR（0）是（－1，1）区间内的随机值；xi（n）为随机共振系统输入信号，它既包括主用户信号又包括噪声信号；xiSR（n）是随机共振系统的输出信号；a、b 和p 是常数；Δt为采样间隔Ts。上节提到，xi（n）分别为xi（nTs）的简化表示，因此，随机共振系统输出信号xiSR（n）相邻点的时间间隔为Δt。调节p 的值可以调节随机共振系统中主用户信号和噪声信号的信号强度。当p取合适的值时，随机共振系统、主用户信号强度和噪声信号强度三者达到匹配，随机共振系统的输出信噪比最大，此时p 的值记为popt。a、b和popt选取方法将在后文中介绍。

将popt带入式（4）可得：

在H1的情况下，主用户信号和噪声信号相互独立，随机共振系统的输出信号xiSR可以被分为两部分［7］，分别为siSR（n）和ηiSR（n），如下式：

式中：siSR（n）和ηiSR（n）分别为对应和ηi（n）的输出。因此通过随机共振系统后，频谱感知的二元假设检测模型为：

根据随机共振的基本原理，当主用户信号强度比较小时，E［xiSR］≠0。由于无法控制主用户信号的输入幅度，因此E［xiSR］≠0 的可能性很大。为了在任何情况下都有E［xiSR］＝0，对xiSR（n）做如下处理：

由于随机共振系统的非线性，ηiSR0（n）不再是高斯白噪声，即当τ0时Ri（τ）0。由于在确定频谱感知判决门限γ 时需要计算Ri（τ）的值，而Ri（τ）的计算比较复杂，这使后文计算判决门限γ变得困难。但是，Ri（τ）随τ 的增加按负指数形式减小［18］，当τ≥τ0时，Ri（τ）很小，可近似为0。上节提到随机共振系统输出信号xiSR（n）相邻点的时间间隔为Δt，因此令随机共振系统的步长Δt≥τ0，这样随机共振输出噪声ηiSR0（n）任意两个不同点之间的相关函数很小，从而使输出噪声ηiSR0（n）近似为白噪声。这使确定判决门限γ变得容易。Ri（τ）的计算方法如下：

式中：τ＝0，Δt，2Δt，…。

采用文献［13］中介绍的协方差矩阵频谱感知算法进行频谱感知，构造如下矩阵：

则接收信号的协方差矩阵表示为：

式中：σ2为随机共振系统输出噪声ηiSR0（n）的方差，i＝1，2，…，N。

由式（10）可以看出，在H0情况下，协方差矩阵趋向于对角矩阵；而在H1情况下则不会趋向于对角矩阵。可以根据上述不同来判断主用户信号是否存在。根据中心极限定理，当Ns很大时中元素可近似服从高斯分布。

定义如下变量：

式中：rn，m（N s ）是矩阵第n行、第m 列的元素。

协方差矩阵频谱感知算法的检测统计量为：

判决表达式为：

由于不知道主用户信号的先验信息，故不能根据检测概率Pd确定判决门限γ。通常情况下，利用虚警概率来确定γ。设定虚警概率为固定的值Pfa，确定γ 使频谱感知算法的虚警概率等于Pfa。本文确定判决门限的方法与文献［13］中确定判决门限的方法类似。

根据式（10），在H0条件下有

式中：ηiSR0（n）是矩阵ηSR 中的元素。

当n＝m 时，有

由中心极限定理可知，在H0条件下，rn，m（Ns）服从高斯分布。经计算可得：

根据式（17）和（19）可得

根据中心极限定理，在H0条件下，当Ns比较大时，T2服从正态分布。因此虚警概率为：

判决门限的计算公式为：

2.2 随机共振参数的确定

本文采用式（5）所示的随机共振系统，下面给出popt的确定方法。

若主用户信号如式（1）所示，则输入信号信噪比为：

当信号通过如式（4）所示的随机共振系统后，随机共振系统的输出信噪比为［3，7］：

为了求出使信噪比最大的popt，令＝0，则有：

为了提高随机共振系统的输出增益，则必须有下式成立：

由式（24）和（25）可得：

因此，在选取随机共振系统参数时，要满足上式要求。本文选取a＝10，b＝1。

3 仿真实验结果与分析

本节通过仿真验证基于随机共振和MIMO的协方差矩阵频谱感知算法（即SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法）的有效性，从多个方面对单天线协方差矩阵的频谱感知算法、MIMO 协方差矩阵频谱感知算法和SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法进行比较。仿真采用蒙特卡罗的方法得到检测概率Pd，主用户信号为BPSK 信号，信号的频率为f＝0.1；噪声的方差为；为了方便起见，仿真中令M ＝N。

图2给出在H0条件下，检测统计量Tx＝T1（Ns）／T2（Ns）与判决门限γ的关系，其中M ＝N ＝5。从图2可以看出，随着Ns的变化，判决门限γ进行动态调整，这可以保证判决门限选择的合理性。此外，在主用户信号不存在的条件下，Tx曲线在γ 曲线的下方，这充分说明判决门限的计算方法是正确的。

图2 判决门限的有效性Fig.2 Validity of decision threshold

图3 两种算法在不同信噪比下的性能比较Fig.3 Performance comparison of two algorithms under different SNR

图4 两种频谱感知算法的ROC曲线Fig.4 ROC curves of spectrum sensing algorithms

图5 不同算法在不同采样点数下的性能比较Fig.5 Performance of different algorithms at different sampling points

图3 、图4 和图5 分别给出SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的检测概率、MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的检测概率和单天线协方差矩阵频谱感知算法的检测概率随信噪比、虚警概率和采样点变化的仿真曲线。在图3 和图4 中取Ns＝1000；在图4中，单天线协方差矩阵频谱感知算法和MIMO协方差矩阵频谱感知算法在SNR＝－22dB条件下进行仿真；SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法在SNR＝－25dB的条件下进行仿真。从图3可以看出，在信噪比为－10dB时，单天线协方差频谱感知算法的检测概率为0.41。而MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的检测概率为0.995，SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的检测概率达到1；当M ＝N ＝10时，在SNR＝－20dB条件下，SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的检测概率能达到1。图4是频谱感知的ROC曲线。图5中所有曲线都随采样点的增加而增加。

由图3、图4和图5可见，基于MIMO 的协方差矩阵频谱感知算法和SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的仿真曲线均在单天线协方差矩阵频谱感知算法仿真曲线的上方；并且在两种算法使用天线数目相同的情况下，SR－MIMO 协方差矩阵频谱感知算法的仿真曲线在MIMO 协方差矩阵频谱感知算法仿真曲线的上方。因此图3、图4和图5的仿真结果均表明基于MIMO 的频谱感知算法的检测概率要远高于单天线频谱感知算法的检测概率；而基于MIMO 和随机共振的协方差矩阵频谱感知算法的检测概率最高。即本文算法的性能要优于其他两种算法。

4 结束语

提出了基于随机共振和MIMO 的协方差矩阵频谱感知算法。通过随机共振增加输入信号的信噪比，利用MIMO 技术获得空间分集以抵抗信道衰落对频谱感知造成的影响。该频谱感知算法可以在低信噪比和衰落信道条件下取得很高的检测性能。仿真结果表明，该频谱感知算法的性能要优于单天线协方差矩阵频谱感知算法和基于MIMO 的协方差矩阵频谱感知算法。同时仿真实验也验证了该算法的有效性，而且在低信噪比条件下，该算法仍能进行可靠的频谱感知。

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