约束自适应桁架优化设计方法

2015-06-12 12:42肖阿阳王本利金耀初
振动与冲击 2015年14期
关键词:桁架形状约束

肖阿阳, 王本利, 金耀初

1. 哈尔滨工业大学 卫星技术研究所,哈尔滨 150001; 2. 萨里大学 计算科学系,吉尔福德 GU2 7XH)



约束自适应桁架优化设计方法

肖阿阳1, 王本利1, 金耀初2

1. 哈尔滨工业大学 卫星技术研究所,哈尔滨 150001; 2. 萨里大学 计算科学系,吉尔福德 GU2 7XH)

为求解多峰值、高度非线性桁架尺寸及形状优化问题,减少算法参数设置的盲目性,将Oracle罚函数与启发式算法相结合,提出可自适应处理约束列式的优化算法Ω-CMA-ES。该算法在处理各类复杂桁架优化问题时仅需设置一个参数Ω。测试算例表明,该算法对参数Ω具有良好的鲁棒性,可有效处理各类动态约束;且在探索全局最优解时体现出较高潜力,优化质量及收敛速度优于既有结果。

桁架优化;Oracle罚函数;启发式算法;约束优化问题;Ω-CMA-ES

结构优化设计因经济效益显著一直是工程领域热点问题。桁架尺寸优化设计是最先被研究的结构优化课题之一。在桁架尺寸优化设计中,杆件截面积及截面形状参数均可作为设计变量,而杆件长度、桁架包络、节点数及节点连接方式均已固定。桁架形状优化设计则致力于对桁架节点坐标的优化,而桁架本身拓扑不变。常认为优化桁架形状较桁架尺寸更具效率[1]。

因工程需要,桁架尺寸、形状同步优化设计[2-4]常被设定含约束的混合整数非线性规划问题(MINLPc)。同时引入尺寸、形状变量会增加桁架优化问题难度,计算量增大。受制于计算机硬件性能及优化算法性能,相关研究主要采用分层优化法;但因桁架尺寸、形状变量在优化进程中具有强耦合性,分层优化法易丢失有价值的可行解,且会陷入局部最优,故诸多研究致力于应用启发式算法,通过单层优化实现桁架尺寸及形状优化设计。

对桁架约束优化问题而言,约束列式处理非常重要。目前广泛采用的包括静态罚函数法、动态罚函数法及自适应罚函数法等。而所有罚函数法均应正确权衡目标函数及约束违反程度[5-6]。罚函数过大或过小时设计向量间仅基于罚函数或目标函数,会影响算法的寻优广度或深度。桁架优化问题中混合变量、复杂力学约束的存在使罚函数设置尤其关键。在桁架优化中采用静态罚函数会致全局最优解丢失概率增大,甚至得不到可行解。

本文试图从约束自适应处理及优化算法性能提升角度,构造高效率、自适应桁架优化设计方法。通过3个典型优化算例显示,所提Ω-CMA-ES算法对复杂约束的桁架尺寸、形状优化问题适应性较广。

1 桁架尺寸及形状优化模型

结构优化宗旨即实现满足约束条件的结构轻量化设计。就桁架尺寸、形状优化而言,其设计变量主要包括杆件截面积(尺寸变量)及节点坐标(形状变量)。结构重量极小化桁架尺寸及形状优化问题可描述为

(1)

(2)

(3)

XA={A1A2…Ai…Ane}T∈ΔA

(4)

XG={G1G2…Gj…Gnj}T∈ΔG

(5)

X={XA,XG}T

(6)

2 Ω-CMA-ES算法

含应力或多阶频率约束,同时考虑尺寸、形状变量桁架优化设计为高度非线性非凸优化问题[7-8]。全局优化算法如启发式算法应用为解决此类问题的关键。自适应协方差矩阵进化策略(CMA-ES)作为新型启发式算法,其出色的全局寻优性能已获广泛认可。而标准CMA-ES为无约束优化问题而设计,因此本文运用Oracle罚函数法[9]将含动态约束桁架尺寸、形状优化问题转化为无约束优化问题。

2.1 Oracle罚函数

罚函数法核心即将约束优化问题改造为无约束优化问题。改造后的目标函数F(X,C)由初始目标函数f(X)、惩罚因子C及约束函数V(X)组成,即

(7)

有研究认为,合理确定惩罚因子C的数值尺度为罚函数法难点。一般而言,在静态罚函数中C为固定值;在动态罚函数中C为关于优化迭代次数的函数;在自适应罚函数中C则为特殊设计的自适应惩罚因子,可自适应地调整自身数值尺度。为确保搜索广度,启发式算法的初始种群随机生成。因此,在优化过程起始阶段,种群中可行解比重较小,此时赋予非可行解较大惩罚因子C利于引导算法快速搜索到可行解。随可行解在种群中的比重逐步提升,惩罚因子C应随之减小,从而利于算法对问题可行域进行深度搜索。

(8)

Subjectto:g0(X)=f(X)-Ω=0

(9)

gj(X)=0, (j=1,2,…,me)

(10)

gj(X)≥0,(j=me+1,…,m)

(11)

式中:Ω为Oracle参数;me为等式约束个数;m为所有约束个数。

优化进程中,Ω采用更新机制以追踪目标函数值的变化情况,即

(12)

式中:i为第i次优化迭代;res为剩余函数,代表设计向量约束违反程度。当且仅当res(X)=0时X为可行解。

Oracle罚函数的剩余函数res(X)、罚函数方程p(X)及自适应系数α分别为

(13)

(14)

(15)

式(14)为改造后的无约束优化问题目标函数。在初始目标函数f(X)及剩余函数res(X)数值尺度差异未知情况下,Oracle罚函数法只需保证Ω的初始值为一较大值。随机优化初始阶段,若Ω初始值足够大,附加约束g0(X)≤0,由式(15)可知,自适应系数α=0。此时,式(14)中目标函数p(X)的取值等同于剩余函数res(X),即设计向量之间的比较仅基于约束违反程度。优化算法首次搜索到的可行解必为最优解。此后优化进程中,式(12)可保证g0(X)始终为一小量。基于式(9)对初始目标函数转化,式(14)、(15)可实现在同一数值尺度上动态权衡设计向量的初始目标函数值f(X)及约束违反程度res(X)。

2.2 自适应协方差矩阵进化策略

CMA-ES为在进化策略(ES)基础上产生的高效率全局优化算法[10]。其以符合正态分布N(X,σ)的个体突变为主要算子。其中步长σ为个体x的突变强度。在此基础上ES引入旋转角α以调整x突变方向。ES中旋转角设定常取固定值并施以随机扰动,但其中所含无效突变会提高整体计算成本。

λ=4+floor(3log(N))

(16)

CMA-ES[11]基于历史搜索路径信息及相邻两代中μ个最佳个体(μ=floor(λ/2))间向量差更新协方差矩阵C,从而调整群体的突变方向。CMA-ES算法所有参数均无需用户调节,其自适应机制可改进算法收敛速度、提高算法的全局搜索能力。该算法已被证明在全局优化方面均具有高可靠性及竞争力。

2.3 Ω-CMA-ES算法框架

由于桁架尺寸、形状优化问题中不含等式约束,且相关不等式约束形式均为gj(x)≤0。剩余函数res(X)可由式(13)转化为

res(x)=

(17)

综合Oracle罚函数及CMA-ES算法的内在机制,适用于桁架尺寸、形状优化问题的Ω-CMA-ES的算法框架设计如下:

步骤1:设置优化问题终止条件,初始化Oracle罚函数参数Ω;

步骤3:找出当前种群中剩余函数值res(X)=0的子种群,选取最优个体,记录目标函数值f(X)为fi。设迭代次数i=i+1;

步骤4:据式(12)更新罚函数参数Ω;

步骤5:利用CMA-ES算法机制产生新种群;

步骤6:重复执行步骤3~5,直到满足迭代终止条件,输出最优设计向量及目标函数值。

3 优化算例

用含平面、空间桁架的3个经典算例测试Ω-CMA-ES的普适性及优化效率。所用结构力学分析方法为有限元法。Ω-CMA-ES种群规模由式(16)确定。在测试算例中,参数Ω均采用106,109两种初始值。

3.1 15杆平面桁架(算例1)

15杆平面桁架初始结构见图1。杆单元许用应力区间为[-172.369,172.369]MPa,垂直方向载荷作用于节点8,含23个设计变量,即尺寸变量Ai,(i=1,2,…,15);形状变量x2=x6;x3=x7,y2,y3,y4,y6,y7,y8。材料参数、相关设计约束见文献[2]。

图1 十五杆平面桁架初始结构Fig.1 Schematic of the planar 15-bar truss

有限元分析最大次数设为4 000。在两种Ω参数初始值设置情况下,所得最优设计见图2。Ω参数自适应变化曲线见图3。由图3看出,因第一代种群中已有可行解,Ω1取值迅速回到1 000以内。本文方法与其它最优解比较见表1。由表1看出,Ω-CMA-ES算法在约束控制上有不俗表现,优化所得结构质量最优,且结构重分析次数最小。

图2 两参数初始值设置下15杆平面桁架最优布局设计Fig.2 Best solutions of the planar 15-bar truss layout under two different cases of parameter initial value

图3 Ω参数变化曲线Fig.3 Variation curves of parameter Ω

表1 十五杆平面桁架的布局优化结果对比

Tab.1 Comparison of optimized designs found for the planar 15-bar cantilever

序号设计变量文献[12]文献[2]当前解Ω0=106Ω0=1091A16.15486.15486.15486.15482A26.15483.47743.47743.47743A30.71611.41940.71611.41944A47.57426.15486.15486.15485A517.40003.47743.47743.47746A63.47741.41941.85161.41947A70.71610.71610.71610.71618A80.71610.71610.71610.71619A90.71611.85160.90971.741910A103.47742.83872.83872.838711A110.71612.83872.83872.838712A120.71611.41941.41941.419413A133.47741.41941.74191.419414A143.47741.74192.23871.419415A150.71611.41940.71611.741916x2354.7542292.0162257.8859259.505517x3560.5221627.4816611.5131602.948018y2293.9618319.8343338.7479340.380819y3270.4313282.1102306.2343307.291520y4134.6454148.0769151.8994165.892221y641.5595-44.6126-44.0047-41.552422y731.1379-14.7853-40.8976-14.842023y8110.970179.921193.5873127.6071最小重量/kg45.548534.298533.903833.6536最大应力/MPa172.5165172.3642172.3593172.3394有限元分析次数8000800040004000

注:设计变量单位分别为A/cm2,x/cm,y/cm。

3.2 37杆平面桁架

37杆平面桁架初始结构见图4。下弦自由节点均设有10 kg非结构质量。结构前三阶频率约束为:f1≥20 Hz;f2≥40 Hz;f3≥60 Hz。为保持结构对称性,该问题含19个设计变量,即尺寸变量A1=A27,A2=A26,A3=A24,A4=A25,A5=A23,A6=A21,A7=A22,A8=A20,A9=A18,A10=A19,A11=A17,A12=A15,A13=A16,A14;形状变量y3=y19,y5=y17,y7=y15,y9=y13,y11。材料参数、尺寸、截面设计约束见文献[3]。

图4 三十七杆平面桁架初始结构Fig.4 Schematic of the planar 37-bar truss

有限元分析最大次数设为8 000次。本文所得最优设计见图5。Ω参数自适应变化曲线见图6。图6显示,在两种参数设置下算法分别于第15代、第26代首次搜索到可行解。表明该算例为高难度优化问题。本文方法与其它最优解对比见表2。由表2看出,本文算法设计质量最优、计算代价最小。

图5 两种参数初始值设置下37杆平面桁架最优布局设计Fig.5 Best solutions of the planar 37-bar truss layout under two different cases of parameter initial value

图6 Ω参数变化曲线Fig.6 Variation curves of parameter Ω

3.3 72杆空间桁架

72杆空间桁架初始结构见图7。杆单元许用应力区间[-172.369,172.369]MPa,节点许可位移区间[-0.6350,0.6350]cm。两种工况下载荷分别作用于节点17与节点17、18、19、20。本文对经典算例进行拓展,分别采用两种优化方式处理,即仅考虑杆件截面、变量尺寸优化问题及同时考虑两类设计变量尺寸、形状同步优化问题。为保持结构对称性,该问题含19个设计变量,即尺寸变量A1~A4,A5~A12,A13~A16,A17~A18,A19~A22,A23~A30,A31~A34,A35~A36,A37~A40,A41~A48,A49~A52,A53~A54,A55~A58,A59~A66,A67~A70,A71~A72;形状变量y5~y8,y9~y12,y13~y16。材料参数及相关设计约束见文献[4]。

表2 37杆平面桁架布局优化结果对比

注:设计变量单位为A/cm2、y/m。

有限元分析最大次数设为8 000次。在两种Ω参数初始值设置情况下,分别求解尺寸优化、尺寸与形状同步优化时,Ω参数的自适应变化曲线见图8、图9。本文方法与其它最优解比较见表3。由表3看出,无论求解尺寸优化或尺寸与形状同步优化问题,Ω-CMA-ES算法在获得更优设计的同时,均能极大减少结构重分析次数。

图7 72杆空间桁架初始结构及杆节点编号Fig.7 Geometry and element definitions of the spatial 72-bar truss: node numbering scheme and element numbering pattern

图8 Ω参数变化曲线Fig.8 Variation curves of parameter Ω

图9 Ω参数变化曲线Fig.9 Variation curves of parameter Ω

表3 七十二杆空间桁架的优化结果对比

Tab.3 Comparison of optimized designs found for the spatial 72-bar cantilever

序号设计变量文献[14]文献[15]文献[16]文献[4]当前解当前解Ω0=106Ω0=109Ω0=106Ω0=109尺寸优化尺寸与形状优化1A1-A411.812011.693011.985011.848011.929012.736012.566012.75902A5-A123.23683.24973.26393.23933.41293.27813.16583.11683A13-A160.65610.64520.64520.64520.64580.64520.64520.64524A17-A180.66970.64520.64520.64770.64520.64520.64580.64585A19-A227.85038.73938.04908.07877.86268.21938.68268.83106A23-A302.73163.28323.39933.24773.31683.26393.21483.19297A31-A340.65480.64520.64520.64650.64520.64520.64650.64528A35-A360.64900.64520.65290.64650.64520.64520.64710.64589A37-A403.89293.46643.36063.69683.27423.27424.76004.736110A41-A483.54193.30523.33683.54773.42193.29683.21233.223211A49-A520.68320.64520.64770.64840.64520.64520.64580.645212A53-A540.64580.64520.64840.64580.64580.64580.65810.658713A55-A580.99941.00711.00971.01681.01101.01160.64520.645214A59-A664.17223.56713.55293.36903.53873.49873.56133.696115A67-A702.71482.75482.53032.81032.62062.53352.86582.786416A71-A723.90003.66643.82063.85293.50193.91553.73743.072317y5-y8------130.5588136.838918y9-y12------262.8435272.993919y13-y16------408.0970409.5308最大应力/MPa168.9747172.2663172.1339171.4092172.3669172.3538172.3387172.3580最大位移/cm0.63500.63470.63500.63470.63500.63500.63500.6350最小重量/kg174.7253172.5334172.4475172.7279172.4448172.4415169.6467169.6504有限元分析次数150004000019621190848000800080008000

注:设计变量单位分别为A/cm2,y/cm。

4 结 论

由于桁架优化问题数值尺度及约束类型的多样性,对每个问题寻找最合理算法参数值会得不偿失,不具备实际工程意义。本文所提Ω-CMA-ES算法具有的两特点为:

(1) 该算法仅一个Ω参数需人工设置。人工参数设置少并不等同于算法的可变参数少,而是算法能自动识别问题尺度,可在优化进程中自适应调整相关算法参数,避免经验参数设置的盲目性。

(2) 该算法具有较强的全局寻优能力,且对Ω参数具备鲁棒性。含平面桁架及空间桁架的3测试算例表明,Ω-CMA-ES算法可显著降低有限元分析次数、有效提高设计质量,两种Ω参数设置下最终优化指标接近,且均优于已有结果。

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Novel constraint adaptive truss optimization approach

XIAO A-yang1, WANG Ben-li1, JIN Yao-chu2

1. Research Centre of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. Department of Computing, University of Surrey, Guildford GU2 7XH, United Kingdom)

A novel optimization algorithm by name Ω-CMA-ES, combining Oracle penalty function and metaheurastic algorithm was proposed to solve a typical multi-modal and highly non-linear problem, that is, the truss size and shape optimization. The algorithm can alleviate the cumbersome burden of parameters setting, and thus adaptively handle the constraints in truss design. Only one parameter Ω needs to be set manually while this algorithm is applied to handle various complex truss optimization problems. Numerical examples show the robustness of the proposed algorithm with respect to parameter Ω, for the algorithm can effectively handle various types of dynamic constrains, and the potential of the proposed algorithm in finding global optimal solution, for the relevant performance indicators are better than the results published in the literature.

truss optimization; Oracle penalty function; metaheurastic; constrained optimization; Ω-CMA-ES

2014-05-15 修改稿收到日期:2014-08-29

肖阿阳 男,博士生,1986年生

王本利 男,教授,1944年生

V414.19;TU323.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.033

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