感悟中点

朱泓宇

如图1，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点. 四边形EFGH是什么四边形？为什么？

观察图形，显然是正方形. 联想到有关正方形的性质，可以得证：

因为AE=EB=AB，

AH=AD，BF=BC，AD=BC=AB，

∴AH=BF=AE=BE，

∴Rt△AEH≌Rt△BEF，

∴∠AEH=∠BEF=45°，

∴∠HEF=180-2×45°=90°，EH=EF.

同理Rt△AEH≌Rt△DGH≌Rt△CGF，

∴EH=HG=GF=EF.

∴四边形EFGH是正方形.

这一题应用了有一个角是直角的菱形是正方形的定义，如果将正方形ABCD改为平行四边形ABCD，可以得到什么呢？

如图2，E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，四边形EFGH是怎样的四边形呢？

首先观察图形，四边形EFGH是平行四边形. 于是我首先画了AC，BD两条辅助线. 利用三角形两条边中点的连线平行第三边，并且等于第三边的一半的道理，EH和GF都平行于BD，并且都等于BD的一半.

∴EH和FG平行并且相等.

所以四边形EFGH是平行四边形.

同样也可以这样证：HG和EF都平行于AC，并且都等于AC的一半.

∴EF和HG平行并且相等.

所以四边形EFGH是平行四边形.

如果将正方形ABCD改为任意四边形ABCD，那么四条边中点的连线组成的四边形又可以得到什么呢？

如图3，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD各边的中点，四边形EFGH是怎样的四边形？

同样，画对角线AC，BD，仍然得出四边形EFGH是平行四边形.

因为EH平行并且等于BD，FG平行并且等于BD，∴EH=FG，EH∥FG.

同样HG和EF都平行于AC，并且都等于AC的一半，∴EF=HG，EF∥HG.

用上面两组推理的任一组，即可判定四边形EFGH是平行四边形.

由此可见四边形四条边的中点连线组成的四边形是平行四边形. （正方形是特殊的平行四边形.）

教师点评：学生利用三角形的中位线的性质得出中点四边形与原四边形的关系，由一般到特殊，研究得很透彻.

（指导老师：王玉芹）