一道例题的多种解法

霍一自

一题多解在数学中非常重要，它可以将所学的知识灵活运用，对培养大家的逻辑思维能力和几何证明能力有很好的作用，对学习数学知识、理解数学问题都是极为重要的.

例：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交于点O，点E是DO的中点，点F是BO的中点. 连接AE、CE、AF、CF，试说明四边形AFCE是平行四边形的理由.

【分析】判断一个四边形是平行四边形可以有多种方法：①平行四边形的定义；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（方法一）利用平行四边形的定义

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO.

因为点E是DO的中点，点F是BO的中点，

所以DE=BF，

所以△ADE≌△CBF，

所以∠DAE=∠BCF.

因为∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

所以∠AEO=∠CFO，

所以AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

所以AF∥EC，

所以四边形AFCE是平行四边形.

（方法二）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形

由方法一知△ADE≌△CBF，

所以AE=FC.

同理AF=EC，

所以四边形AFCE是平行四边形.

（方法三）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

由方法一知AE∥CF，

又因为△ADE≌△CBF，

所以AE=CF，

所以四边形AFCE是平行四边形.

（方法四）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OA=OC，OB=OD.

因为点E、F分别是OD、OB的中点，

所以OE=OF，

所以四边形AFCE是平行四边形.

从上面的证明过程可以看出，一个问题可以有不同的思考方法. 采用不同的方法处理问题，从不同的角度思考问题，利用不同的已有知识解决问题，使用不同的依据来支撑问题，我们就得到了不同的解决问题的方法和步骤. 一题多解，正是为了训练同学们从各个角度，用各种方式思考、解决问题.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）