随机共振用于微弱信号检测时的结构参数研究

郑 堂 李世平 程双江 邬肖敏

(第二炮兵工程大学，西安 710025)



随机共振用于微弱信号检测时的结构参数研究

郑 堂 李世平 程双江 邬肖敏

(第二炮兵工程大学，西安 710025)

分析了参数调节随机共振中系统结构参数对输出效果的影响，通过仿真，得出了不同参数条件下系统输出效果，同时，分析了信噪比随结构参数的变化关系，定量的描述了系统结构参数对输出的影响，根据仿真结果，总结了随机共振用于微弱信号检测时的参数调节策略，为参数调节随机共振提供了一个具体可行的操作步骤。

微弱信号；信噪比；随机共振；结构参数

0 引言

随机共振的概念是1981年Benzi及其团队在研究古气候冰川问题时提出的[1]，用以解释地球气候以十万年为周期的冰川期与暖气候期的交替现象。随机共振现象可以简要的描述如下：对于淹没于噪声中的周期信号，当通过某些非线性系统处理后，噪声和周期信号能够达到一种协同作用，使得噪声能量向周期信号转换，从而使得系统的输出得到优化，输出中的周期信号得以凸显出来。这正是将随机共振用于检测微弱信号的机理所在。

与传统的微弱信号检测方法不同，随机共振是利用噪声而非抑制噪声，这使得它在检测微弱信号时具有很多其它方法所不具备的优势。目前，用于研究随机共振的数学模型主要有以下几个[2-7]：双稳态系统、单稳态系统、阈值系统、离散时间系统和带参数的神经模型等。本文选用的是非线性双稳态系统，具体的说就是非线性朗之万方程(Langevin Equation，LE)。

随机共振提出之初，人们仅仅将目光集中于噪声对系统输出的影响，即适当增大输入信号中的噪声强度使得输出中的周期信号更好的凸显出来，但随着Xu等人在研究多频模拟信号处理时提出了参数调节随机共振即思想[8-9]之后，系统参数对输出效果的影响越来越受到重视，本文着重研究的就是非线性朗之万方程(Langevin Equation，LE)中的两个系统结构参数对系统输出的影响，同时得出调节这两个参数的方法策略。

1 随机共振数学模型

本文用于研究随机共振的数学模型是非线性朗之万方程，它的数学表达式如下：

(1)

(2)

图1 a=b=1且无输入信号时双稳系统势函数

当输入信号换为周期信号时，即s(t)=A0cos(ωt)，考虑系统状态的演化。当周期信号幅值A0小于静态触发阈值Ac0时，虽然随着ωt由2p 变化到0的过程中，输入值相当于常值输入时A由0变化到A0，但是由于A0始终小于静态触发阈值Ac0，因此，布朗粒子只能在某一个势阱内部作小范围震荡，无法发生势阱间的跃迁，然而当周期信号幅值A0大于静态触发阈值Ac0时，情况就完全不一样了，此时，随着ωt由2p 变化到0，输入值将最终达到A0而超过静态触发阈值Ac0，布朗粒子将有条件在势阱间发生跃迁，即发生图2的演化过程，且此时布朗粒子跃迁的频率正是信号频率。

下面考虑噪声存在时的情况，此时输入信号为s(t)+Γ(t)，这里Γ(t)为高斯白噪声。前文提到，当周期信号幅值A0小于静态触发阈值Ac0时，布朗粒子是无法发生势阱间跃迁的，然而，在引入了噪声后，情况会发生变化，只要噪声和信号的合同作用能够超过系统的静态阈值Ac0，那么在噪声的协同下，布朗粒子就能够发生阱间跃迁，即在 [-a/b，a/b]间来回翻转，由于翻转的幅度远远大于信号幅值，同时，有序的翻转大大抑制了噪声的能量，使得输出信号中周期成分很好的凸显出来，信噪比得到很大提高，这种在双稳系统条件下的噪声与周期信号的协同作用就是随机共振，我们用它来检测微弱周期信号的原理也是基于此。

从上面的描述中可以看出，静态触发阈值Ac0是一个与随机共振演化息息相关的参数，而这一参数又直接受系统结构参数a和b的影响，因此，随机共振效果与系统结构参数具有密切联系。

2 结构参数a和b对系统输出的影响

为研究结构参数对系统输出的具体影响，通过仿真考察不同结构参数下系统的输出效果，得出结构参数对输出的影响规律。

仿真采用四阶龙格——库塔算法，首先选取参数如下：系统结构参数取a=1，b=100，噪声强度为D=0.02，周期信号幅值为A=0.01，频率为f=0.01Hz，采样频率fs=5Hz。通过仿真得出系统输入输出时域频域图如图3所示。

图3中，不论是输入时频域图还是输出时频域图，都无法分辨出有周期信号成分的存在，这说明在这一结构参数条件下，周期信号、噪声和系统无法达到一定的协同作用，系统没有发生随机共振，输出中周期信号未能凸显出来。

图2 随机共振演化过程

图3 a=1，b=100时双稳系统输入输出时频图

图4 a=2，b=100和a=3，b=100时双稳系统输入输出时频图

下面改变参数a分别使得a=2和a=3，得出仿真结果如图4所示，图中(a)和(b)分别为a=2,b=100和a=3,b=100时系统输出频域图。从图4(a)可以看出，在输出频域图中周期信号频率f=0.01Hz处有一个明显凸起的谱峰，从输出信号中可以分辨出周期成分的存在。

从图3到图4(a)的变化可以看出，适当改变系统结构参数使得系统输出效果得到了优化。

从图4(b)可以看出，当系统结构参数a=3，输出频域图中无法分辨出有周期信号的存在，原因是系统参数a过大，导致静态触发阈值过高，当前的周期信号和噪声的协同作用无法翻越势阱。

从图4(a)到图4(b)的变化可以看出，系统参数a并非越大越好，过大的a值会使得效果变差。

以上定性分析了结构参数a对系统输出的影响，下面通过定量分析系统输出信噪比随a的变化关系考察结构参数a对输出效果的影响，其中信噪比的定义为周期信号频率处的谱值与同频背底噪声之比(取对数，单位为dB)。

保持图3中除a以外的其它参数不变，通过仿真得出系统输出信噪比随结构参数a的变化关系如图5所示。

图5 b=100时系统输出信噪比随结构参数b变化曲线

图中细实线是通过仿真描绘的实际变化曲线，粗实线是根据细实线绘制的趋势图，从图中可以明显看到，随着a的增大，系统输出信噪比呈现出先升高后降低的趋势，大致在a=2时达到峰值。这很好的解释了系统输出特性从图3到图4(a)再到图4(b)的变化，同时也直观的显示了系统结构参数a对输出性能的具体影响。

从以上对输出信噪比的定量分析可以看出，结构参数a对系统输出效果有着很大的影响，对于一定的输入信号，我们始终能找到一个合适的a值使得系统输出信噪比最大，而且这一a值只有一个，高于或低于这一值都会使得系统输出变差。

上面分析了系统结构参数a对输出的影响，那么结构参数b的改变会对系统输出产生什么影响呢，下面在图4(a)参数的基础上将b减小到10，同时调节a使得系统输出效果最佳，在a=0.39时得到系统的最佳输出效果如图6(b)所示。

对比图6(b)和图4的输出频域图可以看出，图6(b)中周期信号频率f=0.01Hz处的谱值更加明显的凸显了出来，谱值高度明显高于图4中周期信号频率处的谱值高度，可以说，当b由100减小到10后，系统输出效果得到了很好的改善。

在结构参数b=10的条件下，再次考察系统输出信噪比随参数a的变化关系，通过仿真得出关系曲线如图7所示。

图6 b=10，a=0.39时双稳系统输入输出频域图

图中细实线是通过仿真描绘的实际变化曲线，粗实线是根据细实线绘制的趋势图。从这一曲线可以明显看到，输出信噪比峰值达到了12dB以上，比图5中b=100时的峰值大约高出4dB多，这一结果充分说明了参数b对系统输出效果的影响，对于一定的周期信号和噪声，合理的选择参数b能够有效地提高系统输出信噪比，使输出信号中周期信号更加明显的凸显出来。

图7 b=10时系统输出信噪比随结构参数a变化曲线

3 参数调节策略

从上面的分析可以看出，通过对参数a的调节，可以得到一个最佳的a值，使得输出信噪比取得极值，而通过对参数b的调节，可以提高输出信噪比的极值，使得输出效果得到进一步的改善。据此，提出如下的参数调节策略：

1)对于一定的输入信号，首先选取一个合适的参数b，使得输出信噪比峰值满足要求；

2)根据所选的参数b，调节参数a，使得系统输出能够取得信噪比峰值。

通过这样一个调节策略，可以使得系统输出得到一个最优效果，从而更加有效地检测出输入信号中的微弱周期成分。

4 结束语

全文着重分析了在进行微弱周期信号检测时非线性朗之万方程中的两个结构参数a和b分别对系统输出效果的影响，通过仿真得出了系统输出信噪比与两个参数之间的关系，根据仿真分析结果，得出了随机共振用于微弱信号检测时的参数调节策略，为参数调节随机共振提供了一个具体的操作步骤，得出了理想的结论。

[1] R.Benzi, A.Sutera, A.vulpiani.The Mechanism of Stochastic Resonance[J].Phys.A, v01.14, 198l: 453-457

[2] 胡岗.随机力与非线性系统[M].北京：上海科技教育出版社，1994

[3] 杨祥龙.随机共振理论在弱信号检测中的应用研究.浙江大学，2003

[4] Jung F, P.Amplification of small signal via stochastic resonance[J].Phys.Rev.A, 44(12): 8032-8042(1991)

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[6] M.I.Dykman, D.G.Luchinsky, R.Mannella, et al.Nonconventional Stochastic Resonance.Statist Physics[J], 1993, 70: 479-499

[7] 刘沁雨.多阈值系统中的随机共振.南京邮电大学，2011

[8] B.Xu, F.Duan, R.Bao, et a1.Stochastic resonance with tuning system parameters: the application of bistable systems insignal processing.Chaos, Solitons&Fractals, 2002, 13(4): 633-644

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10.3969/j.issn.1000-0771.2015.07.01