成层土质边坡稳定性极限曲线法

方宏伟，赵丽军

（辽宁省交通高等专科学校道桥系，沈阳 110122）

成层土质边坡稳定性极限曲线法

方宏伟，赵丽军

（辽宁省交通高等专科学校道桥系，沈阳 110122）

滑移线场理论在非均质边坡稳定性分析中的单独应用还未见相关报道，提出了基于该理论以土坡变形情况评价成层土坡稳定性的极限曲线法。该法是求有重边坡极限荷载的逆过程，是强度折减法的对偶过程。以极限稳定状态下坡面曲线与原坡面线相交为变形破坏准则，定义了安全度（DOS）和破坏度（DOF）2个稳定性评价指标。将均质土体的特征线法方程组拓展为成层土体情形，原方程组为其特例；依据将土层分界面看成特殊应力间断面的观点，研究了滑移线在土层分界面发生折射的条件与公式。相对于传统方法，该法不必假定和搜索滑裂面。7个成层土坡实例计算结果证明了变形破坏准则的正确性，DOS，DOF与安全系数的评价结论一致，表明该法对成层土坡具有一定适用性。

成层土质边坡；极限曲线法；变形破坏准则；土体特征线方程组；滑移线折射

2015，32（01）：97－101

目前，滑移线法在边坡稳定性分析中的应用主要是求无重均质土体极限荷载［1］及根据有限元计算结果求临界滑裂面［2］，而独立的在非均质边坡中的应用还未见相关报道。文献［3］在应用该法计算基坑土压力时，提出将土层分界面看成一种特殊应力间断面的观点，并给出了相应计算公式。文献［4］认为该法对边坡合理形状设计具有启发意义，A.M.Cehkob通过以该理论为依据的试验得到的均质土体边坡在自重作用下极限稳定坡面曲线公式，与文献［5］通过有限元分析论证堆石坝合理边坡形状是上陡下缓（凹形）非线性函数的结论相一致。文献［6］认为应该联系边坡变形发展过程定量估定其稳定性和安全程度，提出将破坏坡度与实际坡度之比作为安全系数，并指出还可以采用其它形式。文献［7］设想用某种方法对边坡进行分析求出内部应力分布情况，确定一个破坏标准来衡量边坡安全程度，可为稳定性分析开辟一条新的途径。

基于以上研究成果，本文提出了应用滑移线场理论计算得到的极限稳定坡面曲线分析成层土质边坡稳定性的极限曲线法。该法按边坡坡面变形量评价稳定性，以极限稳定坡面曲线与边坡坡面线相交为变形破坏准则，定义了安全度（DOS）和破坏度（DOF）2个稳定性评价指标。相对于已有理论方法，该法不必假设和搜索滑裂面。通过7个成层土坡实例计算结果对比，验证本文提出的变形破坏准则的正确性和DOS，DOF合理性。

1 基本概念与计算公式

1.1 基本概念

对于有重均质边坡，滑移线法计算极限荷载时要求坡面为凹形曲线［1］，其逆过程为在极限荷载作用下，极限稳定状态下的坡面形状为凹形曲线。以坡脚为原点，将地基以上边坡土体放入第一象限，设坡高为H，将边坡坡面线与极限稳定坡面曲线之间的面积S1和边坡坡面线覆盖在正x轴上的面积S2之比定义为安全度DOS（Degree of Safety），见图1（a）。此时极限坡面曲线与正x轴的交点x11＞0，设坡脚到坡顶横坐标x22，S2＝x22H/2，S3，f为极限坡面曲线二次拟合函数，则S1＝S2－S3，DOS＝S1/S2，DOS越大，稳定性越好，值域为（0，1）。以极限坡面曲线与边坡坡面线相交为变形破坏标准，其交点横坐标x1与x22之比的负值定义为破坏度DOF（Degree of Failure），见图1（b），此时x11﹤0，DOF＝－x1/x22，DOF越小，稳定性越差，值域为（－1，0）。强度折减法构筑一个与真实边坡相同轮廓的“虚拟”边坡，即坡面不变，强度指标缩减，缩减的系数即安全系数，极限曲线法为其对偶过程，即强度指标不变，坡面缩减变形，按坡面变形量评价其稳定性。

1.2 成层土体特征线方程组的推导

均质土体滑移线场的特征线微分方程组和有限

图1 DOS和DOF计算示意图Fig.1 Calculation of DOS and DOF

差分方程组［6］分别为

式中：μ＝π/4－φ/2；θ为大主应力与x轴的夹角；σ为特征应力；γ为重度；φ为内摩擦角；（xi，yi，θi，σi）为α线上点的解，（xi＋1，yi＋1，θi＋1，σi＋1）为β线上点的解。

本文将其拓展为适用于成层土体的特征线方程组，方法如下：

（1）由于α线上的点与β线上的点可能不在同一区域，故其解拓展为（xi，yi，θi，σi，γi，φi）和（xi＋1，yi＋1，θi＋1，σi＋1，γi＋1，φi＋1），则原微分方程组拓展为

（2）求解上述方程组得

式中：μi＝π/4－φi/2，μi＋1＝π/4－φi＋1/2。

由于可将均质土体视为特殊的成层土体，即γi＝γi＋1，φi＝φi＋1，分析可知此时方程组（4）等同于方程组（2），因此方程组（2）为方程组（4）的特例。

1.3 滑移线分界面折射条件与公式

文献［3］在计算土压力时，将滑移线法拓展适用于分层土体情况，本文将其应用于成层土质边坡稳定性分析。

1.3.1 折射判断条件

设A点在α线上，B点在β线上，首先由方程组（4）计算第3点C，此时共有4种情况：①A，B，C 3点在同一区域，如图2（a）所示，此时不产生折射；②A，B点与C点不在同一区域，如图2（b）所示，此时α线和β线同时折射，即连接AC和BC，与土层分界面交于A1和B1，再对A1和B1应用折射公式（详见下节）计算A2和B2，最后由A2和B2应用方程组（4）计算C1，舍弃C，保留C1；③B与C在同一区域，如图2（c）所示，此时α线折射，即连接AC，与土层分界面交于A1，再对A1应用折射公式计算A2，最后由A2和B计算C1，舍弃C，保留C1，相关公式同上；④A与C在同一区域，如图2（d）所示，此时β线折射，即连接BC，与土层分界面交于B1，再对B1应用折射公式计算B2，最后由A和B2计算C1，舍弃C，保留C1，相关公式同上。A1（或B1）与A2（或B2）坐标值相同，但其余参数不同。

1.3.2 折射公式

为简化表述，定义i为A（或B）的解，与C的解同为已知条件，j为A1（或B1）的解，k为A2（或B2）的解，其中A（或B）与A1（或B1）在同一区域，参数为（γj，cj，φj），A2（或B2）在另外区域，参数为（γk，ck，φk），其中c为黏聚力。分界面函数为f1＝b，i和C两点直线函数为f2＝b1x＋b2。则由f1和f2相交及按比例关系可求得A1（或B1）的解j的折射公式为

图2 折射判断条件示意图Fig.2 Conditions of refraction judgment

由以上分析可知xj＝xk，yj＝yk。

根据土体塑性理论，应力间断面上土体单元的法向应力和切应力保持连续，可得公式［3］：

按照滑移线理论，满足计算条件的坡顶最小荷载［6］为Pmin＝c cotφ（1＋sinφ）/（1－sinφ），此时边坡无过渡区，本文采用此条件，折射公式为：

（1）当θj＝π/2为主动区，此时θk＝π/2，由式（6）的第1个式子可得

（2）当θj≠π/2为被动区，联立式（6）消去σk，定义：

可得

整理成三角函数形式为

式中：sinω＝L2/L4，cosω＝L2（L1＋L3）/L4，分析可知sinω＞0，当cosω＞0时，ω＝arctan［1/（L1＋L3）］；当cosω﹤0时，ω＝π－|arctan（1/（L1＋L3））|，可得

2 算法流程

计算时定义x轴向右为正，y轴向下为正，边界条件：步长Δx，y＝0，θ＝π/2，σ＝Pmin/（1＋sinφ），采用3次样条差值［8］计算极限坡面曲线与x轴的交点x11，算法流程见图3，采用Matlab编制程序运算。

图3 算法流程Fig.3 Flow chart of algorithm

同前述方法，原极限坡面曲线计算公式［6］拓展为

式中σ与所在区域有关，在同一区域内为常数。

3 实例计算与结果验证

文献［9］中大坝工程实例为典型成层土质边坡，各土层物理力学参数和边坡剖面图见图4。采用本文极限曲线法的计算结果见图5，由该图可知滑移线在土层分界面发生折射，所得到的极限稳定状态下的坡面曲线为折线，常规稳定性分析方法计算的安全系数F＝1.643 8，基于潜在滑移线理论的弹塑性有限元分析结果（对应不同泊松比）分别为F＝1.666，1.712 3，1.723 1，本文极限曲线法计算结果DOS＝0.669 8。安全系数法破坏状态0﹤F﹤1.0时对应本文评价指标－1﹤DOF﹤0，稳定状态F＞1时对应本文评价指标0﹤DOS﹤1，可见三者评价结论一致，都是稳定状态。

图4 典型成层土质边坡剖面Fig.4 Cross-section of typical layered soil slope

图5 文献［9］算例极限坡面曲线（DOS）Fig.5 Lim it slope curve（DOS）of calculation exam ple in literature reference document［9］

表1 DOS，DOF与安全系数的对比Table 1 Comparison of DOS/DOF and safety factor

再选用6个成层土质边坡实例，为节省篇幅，边坡剖面图和土质参数未列出，可见相关参考文献［10－13］，计算结果对比分析见表1，前4个实例F＞1为稳定状态，本文为DOS情形，可见两者结论一致。将文献［13］中2个算例的土层水平外延后计算得到极限稳定状态下的坡面曲线如图6所示。此时F﹤1.0为破坏状态，本文为DOF情形，对应的极限坡面曲线与边坡坡面线相交，由此证明了本文变形破坏准则的正确性和DOS，DOF的合理性。

图6 极限稳定状态下成层土坡［13］的坡面曲线Fig.6 Slopes curves of layered soil slope［13］in lim it stable state

4 结 论

（1）根据滑移线场理论，按边坡坡面变形量评价其稳定性，建立了成层土坡稳定性评价的极限曲线法，该法是求有重边坡极限荷载逆过程，是强度折减法对偶过程。以极限坡面曲线与边坡坡面线相交为变形破坏准则，定义了安全度（DOS）和破坏度（DOF）2个稳定性评价指标。

（2）将滑移线场理论的均质土体特征线法方程组拓展到成层土体情况，原方程组为其特例。将土层分界面看成一种特殊应力间断面，分析和推导了滑移线在土层分界面发生折射的条件及在边坡主动区与被动区的折射公式，得到了极限稳定状态下成层土坡的坡面曲线。

（3）7个成层土质边坡实例计算结果证明了变形破坏准则的正确性，基于坡面变形量的DOS，DOF稳定性指标与不同理论方法计算得到的安全系数具有良好的可比性，评价结论一致。相对于传统方法，该法不必假定和搜索滑裂面。

（4）成层土体特征线方程组以均质土体公式为基础进行推导，还需深入的理论研究，提出的极限曲线法具有探索性，也有待于更多工程实践检验。

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（编辑：黄 玲）

Lim it Curve M ethod to Assess the Stability of Layered Soil Slope

FANG Hong-wei，ZHAO Li-jun
（Department of Road and Bridge，Liaoning College of Communication，Shenyang 110122，China）

The independent application of slip line field theory in slope stability analysis has not been reported yet.On the basis of slip line field theory，we propose a limit curvemethod of assessing the stability of layered soil slope according to the slope deformation situation.Thismethod is the inverse process for the ultimate load of heavy slope and the dual process of strength reduction method.Considering the intersection of slope surface curve under limit state and the original slope surface as failure criterion，we define two assessment indicators：Degree of Safety（DOS）and Degree of Failure（DOF）.Then we extend the characteristic line equation of homogeneous soil to the layered soil condition，with the original equation as its special case，and soil interface as the special surface of discontinuity.On this basis，we obtained the condition and formula of slip line refraction in soil interface.Compared with traditionalmethods，thismethod needs not assume and search critical slip surface.Seven calculation examples verified the correctness of the deformation failure criterion.The stability evaluations of DOS/DOFwith different theoreticalmethods are consistent，indicating thismethod is applicable to analyse the stability of layered soil slope.

layered soil slope；limit curvemethod；deformation failure criterion；equations of characteristic line for layered soil；slip line refraction

P642

A

1001－5485（2015）01－0097－05

10.3969/j.issn.1001－5485.2015.01.020

2013－07－25；

2013－10－28

方宏伟（1980－），男，辽宁兴城人，讲师，博士，从事岩土工程研究工作，（电话）18624321639（电子信箱）fanghongwei911＠126.com。