车桥耦合振动缩尺模型试验的相似律研究

桂水荣，张 超，陈水生

(1.华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌 330013；2.东南大学 交通学院，江苏 南京 210096)



车桥耦合振动缩尺模型试验的相似律研究

桂水荣1,2，张 超1，陈水生1

(1.华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌 330013；2.东南大学 交通学院，江苏 南京 210096)

基于公路桥梁车桥耦合振动特性及结构动力模型试验相似理论，提出了车桥耦合振动缩尺模型试验相似关系。以某假设简支梁桥为原型，根据原型结构动力特性及相似比尺，计算了车辆与桥梁动力特性参数；对比分析了原型桥与模型桥的静、动态响应，校验所提出的车桥耦合振动缩尺模型相似律。结果表明：车桥耦合振动室内缩尺模型需同时满足弹性相似律及重力相似律。

桥梁工程；相似律；车桥耦合系统；动力缩尺模型

0 引 言

高速公路上重载车辆对桥梁的冲击作用，加速了桥梁的破坏进程。移动车辆荷载对桥梁的动力作用最明显的效应就是能引起比静力作用更大的位移和应力。设计中，用冲击系数来描述移动车辆荷载对桥梁冲击效应，但车辆与桥梁相互作用影响因素较复杂，包括：桥梁结构动力特性；车辆动力特性；桥头引道、桥面不平顺；车辆的行驶速度、横向作用位置等[1]，这些因素相互掺杂影响。

国内外学者对车桥耦合振动问题开展了大量的理论与现场试验研究。采用简化模型数值求解车桥耦合振动问题，桥梁一般离散为弹性梁(板)单元，车辆荷载一般简化为移动的多自由度刚体振动体系，路面不平顺激励简化为谐波三角级数叠加。李军强，等[2]建立两自由度车辆模型，结合Runge-kutta法，研究了简支梁桥车桥耦合振动的简便算法；陈燊，等[3]分析了多车作用下的刚架拱桥振动响应；K. Henchi，等[4]将模态综合叠加法引入车桥耦合振动系统，推导了三维车桥耦合振动模型的求解算法，该算法被广泛应用于车桥耦合振动的数值模拟[5-6]；吴铭汉，等[6]讨论了4种车辆模型对T型刚构桥振动响应的影响；李奇，等[7]考虑车体的柔性，研究了采用有限元方法求解车桥耦合振动问题的建模方法。上述研究表明，车辆简化为平面(或空间)模型均能有效的体现车桥耦合振动特性，将车桥耦合系统简化为移动弹簧-质量-阻尼系统，并结合迭代法求解车桥耦合振动问题是最快捷、最有效的方法。

目前，对车桥耦合振动问题的研究，主要采用数值模拟和现场试验测试的方法。关于桥梁结构开展的室内模型试验主要集中于静力特性研究，动力缩尺模型试验主要研究桥梁结构动力性能、地震和风洞效应等[8-10]。T. H. T. Chan，等[11]以荷载响应识别为目的，制作了车桥耦合振动模型简易试验装置，但该试验未按相似关系对车辆和桥梁的动力特性参数予以设计。车桥耦合振动的动态响应围绕着静态响应上下波动，自重对振动响应影响不可忽略，因而缩尺模型试验除必须保证弹性相似律外，还必须同时满足重力相似律[12]。

笔者考虑公路桥梁车桥耦合振动特性，以结构动力模型相似理论为基准，根据π定理，采用量纲分析方法，提出了公路桥梁车桥耦合振动缩尺模型试验需保证的弹性相似律、重力相似律、弹性力-重力相似律。以1/4(2自由度)车辆模型行驶在40 m简支梁桥为例，采用10 ∶1的几何缩尺比，计算模型结构相似常数，并确定模型试验桥及试验小车动力特性参数。对比分析原型桥动力响应与缩尺模型桥动力响应，校验公路桥梁车桥耦合振动缩尺模型试验需满足的相似律。

1 车桥耦合振动原理分析

对于移动车辆荷载作用下桥梁的振动，因行驶的车辆是具有弹簧质量的振动系统，车辆移动及路面不平顺激励必将引起车身及悬架系统的振动，从而导致车-桥系统耦合振动。采用三维弹簧-质量振动系统求解车桥耦合振动响应，考虑了车辆的俯仰、侧倾及垂直运动，能准确分析车桥耦合振动特性[4-6]。吴铭汉，等[6]分析了4种车辆模型对车桥耦合振动响应的影响，认为1/4车辆模型(2自由度)及整车模型均能有效地体现车桥耦合振动特性。笔者以1/4车辆模型为例，根据车桥耦合振动特性，研究车桥耦合振动缩尺模型相似关系。

1/4车辆模型，将车体质量集中于m1，悬架系统刚度及阻尼集中于k1和c1，车轮及悬架系统质量集中于m2，车轮刚度及阻尼集中于k2和c2，建立车桥耦合振动模型，如图1。图1中：简支梁桥未变形前的中心线为x轴，y(x，t)为桥梁中心线动位移；y1(t)为m1的竖向绝对位移；y2(t)为m2的竖向绝对位移；v为车辆行驶速度；L为简支梁桥跨径；m为单位长度质量；c为阻尼；EI为刚度。

图1 2自由度车辆模型的车桥耦合振动系统Fig.1 Vehicle-bridge coupling vibration system of two degree of freedom vehicle model

1)作用在车体m1上的力

由于m1的相对位移而产生的悬架弹簧弹性力：

由m1的相对速度而产生的悬架阻尼力：

从而导出m1的动平衡方程：

(1)

2)作用在m2上的力

车轮与悬架弹簧的相对位移而产生的弹性力：

车轮与悬架相对速度而产生的阻尼力：

从而导出m2的动力平衡方程：

(2)

当车辆以速度v匀速通过简支梁桥时，作用于桥上的荷载包括移动车辆(车体+悬架+车轮)的重力PG=(m1+m2)g，m2的惯性力PI2、弹性力PS2及阻尼力PD2。将简支梁桥简化为欧拉梁，建立桥梁振动方程：

(3)

由式(3)可以看出，影响车桥耦合振动因素主要有桥梁结构动力特性、车辆动力特性、车辆行驶速度等。作用于桥上外荷载包括车辆重力及由车轮传递来的惯性力、阻尼力及弹性力，车辆自重在振动响应中占有不可忽视的比例，研究车桥耦合振动缩尺模型试验相似关系，需保证车桥耦合系统的弹性力、重力及阻尼力相似。

2 车桥耦合缩尺模型试验相似理论

2.1 结构动力模型试验一般要求

试验模型与被模拟的原型结构满足物理力学相似，需要满足几何尺寸相似、模型材料与原型材料的应力-应变关系相似、质量和重力相似以及初始条件和边界条件相似[12]。几何相似要求模型尺寸按固定比例缩小；保持模型材料与原型材料应力-应变关系相似非常困难，但对于不同的研究目的，应力-应变关系可以不同；质量和重力相似是模型设计中最灵活的相似关系，可以根据不同的试验目的，选择满足质量相似关系或重力相似关系或质量-重力相似关系。

研究车桥耦合振动系统在线弹性范围内的缩尺模型相似关系，根据π定理，运用量纲分析法推导车桥耦合振动模型试验的各物理量相似比关系。研究车桥耦合振动模型试验涉及的物理量包括：表征材料特性的应力σ，应变ε，弹性模量E，密度ρ；表征几何特性的长度l，位移δ；表征动力特性频率f，时间t，速度v，加速度a，重力加速度g；作用外力P等。选取T，L，F为基本量纲，用a1，a2，a3，…，a12分别代表各物理量的指数，根据π定理，共有9个π项。表1为9个物理量的量纲矩阵。

表1 量纲矩阵

按照表1的量纲矩阵，可得齐次方程组。

1)考虑量纲F指数为0：

a5+a8+a11+a12=0

2)考虑量纲L指数为0：

a1+a2+a3-2a5+a9+a10-4a11-2a12= 0

(4)

3)考虑量纲T指数为0：

-a2-2a3+a4-a7-2a9+2a11=0

取l，ρ，E为基本未知量，对线性方程组(4)进行求解，整理得π矩阵如表2。

表2 π 矩阵

由π矩阵可得到9个π准则：

式中：π1,…,π9为无量纲参数，对于模型结构与原型结构，要求保持这些参数相等。

定义λ为原型与模型之间相似比尺，λl，λE，λρ，分别为几何比尺、弹性模量比尺、密度比尺；λu，λε，λσ，λF，λm，λt，λa，λv，λf，λg分别为变形比尺、应变比尺、应力比尺、作用力比尺、质量比尺、时间比尺、加速度比尺、速度比尺、频率比尺、重力加速度比尺；根据相似准则，可以推出各物理量需满足的相似关系。实际上，完全满足式(5)相似准则推出的相似关系是比较困难的，因π3，π9相似准则要求λa=λg，而在一般的模型试验中，重力加速度是无法改变的，这就只能取λa=λg=1，从而导致λl，λρ，λE不能独立选取。因而在动力模型试验中，根据研究目的不同，选择满足不同的相似律关系。车桥耦合振动缩尺模型因其受力特点，需同时满足弹性相似律及重力相似律。

2.2 动力模型相似律

2.2.1 弹性相似律

弹性结构在外加荷载作用下，振动基本方程为：

(6)

式中：M，C，K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；F(t)为作用外力；u为结构广义坐标向量。

从式(6)可以看出，对结构振动起主要影响的有惯性力、阻尼力、弹性恢复力及作用外力。研究结构的动力特性(自振频率和模态)，主要是求解方程：

即，主要保证原型结构与模型结构的惯性力和弹性恢复力相似。在一般的模型设计中，原型结构和模型结构重力加速度相同，因此，加速度比尺取1。从惯性力与弹性恢复力相似要求，可以推出：

(7)

整理式(7)可得：

(8)

根据量纲关系，弹性相似律同时也要求：

(9)

当研究结构在弹性阶段的动力响应时，还应保持作用外力F相似，根据量纲分析有：

λF=λE·λl·λu

(10)

结构在线弹性小应变范围内振动，适用叠加原理，变形比尺λu可以不等于几何比尺λl，自由选定。也就是说，在线弹性试验过程中，可以调整变形比尺，以提高测量精度，而并不影响相似关系，只是应力比尺、速度比尺和加速度比尺需按变形比尺做相应的调整[12-13]。

2.2.2 重力相似律

结构振动惯性力与结构重力的相似比尺相同，简称为重力相似。加速度相似比尺取1时，根据量纲关系，可以得到：

(11)

将式(9)代入式(11)可得：

(12)

从式(12)中可以看出，试验满足重力相似律时，时间比尺只与结构的几何比尺有关，与所选取的变形比尺λu无关。因而，试验过程中，可以根据试验测试精度要求，选取适当的变形比尺λu。

2.2.3 弹性力-重力相似律

在许多情况下，重力对结构振动产生非常重要的影响。例如，研究移动车辆荷载作用下桥梁的振动响应，由移动车辆荷载引起的桥梁振动响应曲线，动载响应曲线围绕着静载响应曲线上下波动，车辆与桥梁相互作用过程中，静载作用不可忽略，需满足重力相似关系[12]。研究车桥耦合振动缩尺模型试验相似关系，需同时满足弹性力-重力相似律要求，因而模型设计同时满足式(8)和式(12)，可以推出：

(13)

模型设计过程中，若选取变形比尺与几何比尺相同时，则式(13)可改写为：

(13′)

(14)

式中：mp，mm分别为原型、模型实际质量。

2.2.4 车辆模型相似关系

研究车桥耦合振动引起的桥梁动力响应，需保证桥梁上的外加荷载相似。作用于桥梁上的外加荷载包括车辆自重及车辆行驶引起的弹性力、阻尼力及惯性力，这些作用外力随车辆在桥梁上的运行位置及状态而改变，取决于车辆质量、阻尼和刚度大小及分配。车辆的质量及刚度总体表现为车辆自振频率，当车辆自振频率与桥梁基频接近，或车辆荷载间隔加载周期与桥梁某阶自振频率接近时，将引起车桥共振。考虑车桥耦合振动特性，根据π定理准则及量纲分析，可以得出车辆动力特性相似关系：

(15)

式中：λvm，λvk，λvc分别为车辆的质量比尺、刚度比尺、阻尼系数比尺。

车辆悬架系统的阻尼，根据阻尼力PD=c·v，可推导出，在满足弹性力-重力相似关系的前提下，车辆阻尼系数相似比尺：

(16)

3 算例验证

为校验笔者提出的车桥耦合振动缩尺模型试验相似律，以1/4车辆模型匀速行驶在40 m简支梁桥为例，研究原型结构与缩尺模型结构车桥耦合振动特性。取简支梁桥的跨中截面抗弯惯性矩为I跨中=3.22×1012mm4，面积A跨中=5.015×106mm2，原型结构的桥梁及车辆参数如表3。选取几何相似比尺λl=10，变形比尺λμ与几何比尺λl相同，根据缩尺模型对材料强度及弹性模量的要求，选取有机玻璃(聚甲基丙烯酸甲酯PMMA)为模型试验桥原材料。模型试验设计中，弹性模量比尺λE由原型结构(混凝土弹性模量)和模型结构(有机玻璃弹性模量)确定；加速度比尺λa=1。根据文中推导的车桥耦合振动缩尺模型相似律关系，导出其他相似比尺如表4。依据表4相似比尺及表3原型结构的桥梁及车辆参数，确定缩尺模型的结构参数如表3。

表3 原型结构与模型结构参数对比

表4 模型试验相似比尺

表5 原型桥与模型桥数值模拟动力响应对比

对比表5计算结果，可以看出：

1)原型桥与模型桥振动响应时程曲线变化规律完全一致。

2)各种速度作用下，原型桥与模型桥跨中及1/4位置最大动位移之比均等于变形比尺，缩尺后的车桥耦合振动模型的静、动态响应遵循车桥耦合振动相似律。

3)原型桥与模型桥静位移之比等于变形比尺，不同速度作用下，原型与模型的不同位置理论冲击系数相同；试验中，若采用实测的车辆动力特性参数，按相似比尺制作车桥耦合缩尺模型试验装置，试验测试结果能直接反映该类车辆对桥梁的冲击效应。

4)笔者提出的车桥耦合振动相似理论正确，但在试验过程中，可适当改变变形比尺，提高测试精度，减小因测试数据过小而引起的过大冲击系数相对误差。

4 结 语

根据结构动力相似原理及车桥耦合振动原理，基于 π 定理和量纲分析方法，提出了公路桥梁车桥耦合动力缩尺模型的相似关系。以虚设简支梁桥为例，根据原型结构特性及相似比尺，计算模型结构参数，对比分析原型桥与模型桥的静、动态响应。研究结果表明，笔者提出的车桥耦合振动响应的缩尺模型相似律是可行的，研究车桥耦合振动室内缩尺模型，需同时满足弹性律-重力相似律关系。

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Similarity Law of Scale-Model Test System for Vehicle-Bridge Coupling Vibration

Gui Shuirong1,2, Zhang Chao1, Chen Shuisheng1

(1. Department of Civil Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, Jiangxi, China; 2. School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, Jiangsu, China)

The similarity laws of bridge-vehicle interaction system were presented based on similarity theories of structure dynamic model test and dynamic property of highway bridge-vehicle coupling vibration. Taken a fictitious simple supported beam bridge as an example, the parameters of vehicle model and bridge model were calculated according to the prototype structure dynamic properties and scale factor of geometry. Comparative analysis of static and dynamic response between prototype bridge and model bridge, verified the vehicle-bridge coupling vibration model similarity law. The results showed that, the scale model test for vehicle-bridge coupling vibration need to satisfy elastic similarity law and gravity similarity simultaneously.

bridge engineering;similarity law; vehicle-bridge interaction system; dynamic scale-model test

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.02.03

2013-07-28；

2014-02-07

国家自然科学基金项目(51268013,51468018)；江西省教育厅科研项目(GJJ14384；GJJ14352)；教育部工程研究中心资助项目(13TM02)

桂水荣(1979—)，女，江西九江人，副教授，博士研究生，主要从事公路桥梁车桥耦合振动方面的研究。E-mail:guishuirong@163.com。

U441.3

A

1674-0696(2015)02-010-05