经历·反思·沟通·运用

李安宏

一、经历过程，积累策略经验

有效的教学应该让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程。策略是主体心理活动的产物，是从方法里提炼的认知，它只能在解决问题的过程中，通过活动经验的不断积累自主获得，而不能直接从外部强行输入。所以，让学生经历策略的形成过程是解决问题策略教学的重要目标之一。

教学“解决问题的策略——假设”，课一开始，教师出示准备题：小明把630毫升的果汁倒入7个同样大的杯子里，正好倒满，平均每个杯子的容量是多少毫升？

例1，小明把630毫升的果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满。小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

师：跟前一题比，例题难在哪里？

根据学生的回答，教师进行归纳并板书，例题有“两种未知量”“不能直接平均分”，准备题只有“一种未知量”“可以直接平均分”。通过以上强烈的对比，学生体会到例题“有两种未知量，且它们之间存在倍数关系”的结构特点，引发认知冲突，进而产生把复杂问题转化成简单问题的心理需求，激起进一步探究的欲望。

接着教师引导学生通过找数量关系，感知条件和问题之间的联系，打开解题的思路，留出大量的时间和空间，让学生独立思考，自主经历用假设策略解题的全过程，大胆、充分地让学生展示、交流不同的解决问题的思路。

1.假设都倒入小杯。

让学生用学具摆一摆假设的过程，追问：为什么把1个大杯换成3个小杯，只用1个小杯替换行吗？（明确等量替换概念）

师：现在就相当于把630毫升果汁倒入9个小杯，列式——小杯：630÷（6+3）=70（毫升），大杯：70×3=210（毫升）。

2.假设都倒入大杯。

学生用学具摆一摆假设的过程，现在就相当于把630毫升果汁倒入3个大杯，学生列式——6÷3=2（杯），大杯：630÷（2+1）=210（毫升），小杯：210÷3=70（毫升）。

3.列方程。

设小杯的容量是x毫升，那么大杯容量可以怎么表示？为什么？（明确1个大杯相当于3个小杯的数量关系）让学生明确方程也是一种假设，与假设都倒入小杯的想法一样，只是用方程的形式表现出来。

通过师生对话、生生对话，学生完整地经历了用假设策略解决问题的思考过程，积累了解决问题的活动经验，体验到化难为易策略的价值。

二、回顾反思，建立数学模型

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011）》的十大核心概念之一，帮助学生建立相关知识的数学模型也是解决问题教学的重要目标。在每个解决问题策略的学习中，修订后的苏教版教材都安排了“回顾和反思”的环节，是希望学生在解决问题后，能回头望一望、想一想，思索并回顾解决问题过程中的经验和体会，丰富对策略的感知，帮助学生建立解决某一类问题的数学模型。

例如，本课教材是这样安排的：回顾解决问题的过程，你有什么体会？当学生有困难时可引导讨论：①为什么假设？②怎样假设？③假设后是怎样思考的？教师通过试教，发现这种形式的“回顾和反思”，学生没有主动思考，不能自主对学习内容进行反思总结，导致“该环节”浮于表面，形式化明显，不利于学生建立数学模型。因此，教师从帮助学生建立数学模型的角度设计了两个问题让学生讨论：①刚才解决的这道题目有什么特点？②解决这个问题你是用到了哪些策略和方法？

学生讨论后反馈。

生：这道题有两种不同的杯子。有两种未知量。这两种量还有倍数关系。

生2：我用到了假设的策略。

师（追问）：你具体是怎么假设的？

生：我可以假设“都倒入小杯”来思考，也可以假设“都倒入大杯”进行思考。

师：也就是说通过假设把“两种未知量”转化为“一种未知量”，还用到哪些具体的方法？

生：可以通过画图来帮助理解题意。假设后可以采用方程法解答。

通过这样的反思，帮助学生建立“解决有两种未知量，且这两种量之间存在倍数关系”这一类数学问题的模型，使反思切合学生的实际，更具实效。

三、沟通联系，形成策略系统

策略是根据事物发展而制定的方针与对策，学生对策略的掌握一般要经历从模仿到逐步内化。解决问题策略教学不仅要让学生经历策略的形成过程、建立数学模型，还要帮助学生沟通知识的前后联系，形成知识系统，让学生认识到策略的形成是一个漫长的过程。

例如本课，教师和学生一起回顾：“在以前的学习中，我们曾经运用假设的策略解决过哪些问题？”通过交流发现，假设的策略早已用过：①估算98+305时，把接近整十或整百数看作整十或整百数。②二年级学习乘减时，列式3×4-1，就是假设成一共有3行，每行有4个，然后减去多算的1个。③四年级学习除法试商时，192÷39把39想成40，估计出商是4。

从二年级的初步接触、体验，到六年级的提炼、提升，教材的安排就是要让学生体验策略的形成要经历一个漫长的过程。同时，我们也要认识到，凭一个单元的教学并不能完成学生策略意识的培养，策略意识的培养应该渗透在每一单元、每一次的解决问题中。就如本课学生在运用假设策略解决问题，经历策略形成过程中，就离不开以前学过的“画图策略”的帮助。只有通过长期的策略学习，不断积累解决问题的策略和方法，才能帮助学生在解决问题的过程中学会运用策略，形成知识系统，感悟数学思想方法。

四、灵活运用，提升策略价值

在数学教学过程中，获得具体问题的结论和答案不是解决问题策略的主要价值，更重要的，在于让每个学生获得对问题的深入理解，形成解决问题的基本策略，体会并提升策略的独特价值。通过教学，可以设计有针对性的练习让学生不断思考——这类问题的特点是什么？为什么要使用这种策略，使用这种策略有什么好处？

例如，教学本课，在练习环节，教师先出示右图，要求出钢笔和铅笔的单价各是多少元？

学生独立思考后，发现本题缺少了“钢笔和铅笔单价之间的倍数关系”这个条件，无法解决。这样的教学帮助学生完善这类问题的数学模型，积累了解决问题的经验。接着补上条件“钢笔的单价是铅笔的6倍”，然后让学生独立列式。

假设10.8元买的都是铅笔，10.8÷（3+6）=1.2（元），1.2×6=7.2（元）。

师：还有别的方法吗？

师：如果假设10.8元全部买钢笔，这样假设行吗？

生：铅笔没有6支不能换1支钢笔。

生：生活中没有半支钢笔。

教师没有马上评价，过了一会儿。

生：老师可以换的，我们可以把“3支铅笔的价钱”看成“0.5支钢笔的价钱”，这样10.8元就是1.5支钢笔的价钱了。

生：对，假设不是真的换，我可以在头脑里把3支铅笔想象成0.5支钢笔。

这时有部分学生若有所悟地点点头，教师趁机引导：同学们，其实假设并不是操作，虽然现实生活中不会出现0.5支钢笔，无法操作，但我们可以在头脑里假想，这就是假设的优势。

这样的练习设计能让学生在解决问题的过程中体验策略、感受价值，逐步提升策略的合理性，达到对策略的深度理解。

（作者单位：福建省宁德市蕉城区实验小学 责任编辑：王彬）endprint