如何挖掘课本例习题的内在功能

翟志成

摘 要：高考源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求教师不断挖掘教材中例习题的多种功能，深化例习题教学，发挥例习题的内在潜能，以培养高素质的学生。

关键词：挖掘；课本例题；功能

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-269-02

高考源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求教师不断挖掘教材中例习题的多种功能，深化例习题教学，发挥例习题的内在潜能，以培养高素质的学生。在全面推进素质教育的今天，教学中要对例习题进行全面合理的设计，面向全体学生，充分发挥例习题的内在潜能，不仅使学生听懂，而且还要拓展学生数学思维，培养学生的创新能力。

心理学研究表明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的。因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步的多次的获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，培养思维的深刻性。如在讲椭圆的第一定义的应用时，可根据教材设计如下：

题组一（巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置）：

1、P95题2，如果椭圆 上一点P到焦点F 的距离等6，则点P到另一个焦点F 的距离是 ；

2、P96习题4，已知椭圆的标准方程为椭圆上的点。

（1）点M（4，2.4）与焦点的距离分别是 ， ；

（2）点M到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离等于 。

题组二（提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置）

P93例1（2）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点 ，求椭圆的标准方程。

题组三（发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置）

1、P95题1，平面内两个定点的距离等于8，一个动点M到两个

定点的距离的和等于10。建立适当的坐标系，写出动点M的轨迹方程；

2、P94例2，已知B、C是两个定点， =6，且△ABC的周长等

于16，求顶点A的轨迹方程；

3、P128例1，一动圆与圆外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

对例习题由浅入深，层层递进，环环相印，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝重重成功的喜悦，既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，训练了学生数学思维。

一、探索例习题的非常规解法，培养思维的批判性

教师应注意深挖细琢例习题，寻找机会展示自己思维过程

提出新假设、新论断，通过探求问题的非常规解法带给学生意外的惊喜，以训练学生思维的批判性。

如P15例1，求证：

常规解法是：因为 都是正数，所以为了证明，只需要证明，展开得即因为21成立，所以，即证明了。

很多学生对该解法只知其然，不知其所以然，甚至在独立完成如时容易犯将该式两边平方的错误，为了避免这种情况，教师应引导学生用新方法，独立地组织自己的思维进程，训练学生的思维。

非常规解法是，学生惊喜之至，问题得到巧解，既补充和延伸了课堂教学，消除了学生的疑虑，排除了干扰，又培养了学生的质疑精神、科学的批判精神和锲而不舍的学习精神，我们何乐而不为呢？

二、精选变式例习题，培养学生思维的广阔性

课本教材往往只是研究问题的基本形式，并用与之相应的习题让学生训练，这样即使把有关问题做遍了，也只能是把握问题的某个方向，因此，教师要挖掘例习题深层次的知识点，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维。

已知 是圆C的直径的两个端点，求圆C的方程。

可作如下变式：

变式一：已知 是圆C上的两点且圆心在x轴上，求圆C的方程；

变式二：若圆C过点A（3，2）且与直线x+y-3=0相切于点，求圆C的方程；

变式三：若圆C过点A（3，2）且与圆 相切于点，求圆C的方程。

学生解题的实质是基本问题的各种各样的变化形式，对教材中的例习题进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想激发思维；使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了基本题中所演生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。

三、引导学生对例习题探究和猜想，培养思维创造性

在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。教师应该鼓励学生大胆探究与猜想，深刻领悟新课程改革精神，认真研究教学要求，以学生为本，精心设计例习题，以培养学生的合作能力和创新素质为己任，给学生一片自主探索的天空，使学生的创新能力得到培养，个性品质得到和谐发展。

如P113练习题5，当渐近线方程为 时，双曲线的标准方程一定是 吗？如果不一定，举出一个反例。

可点拨如下：

（1）的渐近线方程为 ，即；

（2）写出一个渐近线方程为 的双曲线方程（学生的答案大多数为 ）

（3）能否再写出一个渐近线方程为 的双曲线方程？（受教师的启发，学生大胆探究，很快得另解为 ）

（4）渐近线方程为 的双曲线方程可以统一用一个方程表示吗？（学生纷纷发表自己的见解，得出答案就是

（5）还有更好的表示形式吗？若有，找出它与渐近线方程的区别。

学生兴奋到了极点，跃跃欲试，积极观察、猜想，终于找出来了，即是渐近线方程为 的双曲线方程为 。

学生如释放重负，却有一种成功的喜悦！思维创造性的火花也已点燃。这样，在完成P114题2（4）求渐近线方程为 且经过 的双曲线的标准方程时避免了讨论，轻松多了，有一种得心应手的感觉。培养了学生的探索精神和猜想能力，让学生的创新思维在实践中得到锻炼，在实践中绽放出创新之花！