一种带有末端弹体姿态角约束的非线性制导律

李新三，汪立新，刘国辉，闫循良，王明建，丁邦平

（1. 第二炮兵工程大学 三系，西安 710025；2. 第二炮兵工程大学 士官学院，青州 262500）

一种带有末端弹体姿态角约束的非线性制导律

李新三1，汪立新1，刘国辉2，闫循良1，王明建2，丁邦平2

（1. 第二炮兵工程大学 三系，西安 710025；2. 第二炮兵工程大学 士官学院，青州 262500）

针对带有末端多约束的三维非线性制导问题，设计了一种通用模型预测静态规划制导算法。该制导算法通过向后迭代求解权矩阵微分方程对控制量进行更新，将动态优化问题转化为静态优化问题，计算效率得以提高。阐述了通用模型预测静态规划制导算法的基本原理，详细给出了基于通用模型预测静态规划算法的制导律设计过程。所设计的制导律满足末端法向加速度约束，因此，间接满足末端弹体姿态角约束。仿真时考虑目标的机动方式和落角约束，仿真结果表明，末端位移偏差小于0.5 m，末端落角可控制在0.01°范围内，末端法向加速度小于0.01 m/s2，该制导律能够很好地满足末端位移、落角和法向加速度约束。

通用模型预测静态规划；制导律；落角约束；法向加速度约束；弹体姿态角约束

目前，人们越来越关注带有末端落角约束的制导律技术研究。以一定的末端落角对目标进行直接撞击可以增强弹头毁灭效果。例如，从上部对掩体内的目标进行攻击可以轻易击穿多层防御结构，反坦克武器从上部更容易摧毁敌方坦克，对城市目标以特定的落角进行攻击显得越来越有必要。此外，采用带有末端落角约束的制导律可以提高导弹的突防能力。因此，带有末端落角约束的制导律研究越来越引起各国学者的关注。

带有末端落角约束的制导律研究最早由Kim和Grider[1]提出，Kim和Grider采用最优控制理论对角度和位移偏差进行最小化，对地面匀速运动目标进行跟踪攻击。Lee等人[2]将一种带落角约束的最优控制律应用于目标机动的情形。Kim和Lee[3]在比例导引律的基础上加了一个时变偏置项，此偏置项用来满足末端攻击角度约束的要求，不过这种制导律局限于目标是固定的情况。近几年，Padhi和Oza[4]提出了一种模型预测静态规划（MPSP）制导算法，实现在三维空间内对地面静止目标或匀速运动目标进行攻击，满足末端速度倾角和偏角约束。此外，还有许多其他学者对带有末端落角约束的制导律进行了系统研究[5-10]。

以上研究均是对导弹飞行速度方向进行约束控制，并没有对弹体姿态角进行约束控制。对目标进行攻击时往往希望命中目标时的姿态最佳，以使战斗部发挥最大效能，因而研究带有末端弹体姿态角约束的制导方法非常有意义。Ilan Rusnak等人[11]基于控制制导一体化理论实现对弹体末端姿态角进行直接控制，而本文提出了一种在制导体系下对弹体末端姿态角进行间接约束的制导方法。通过对末端法向过载进行约束，使之趋于零，从而使得导弹的攻角和侧滑角趋于零。此时导弹的速度倾角和偏角和弹体末端姿态角是相等的，即通过对导弹末端速度倾角和法向加速度同时进行约束，实现对弹体末端姿态角的约束。

借鉴MPSP[12-13]方法思想，本文给出一种通用模型预测静态规划算法（G-MPSP）[14]用于快速求解具有末端约束的非线性制导问题，将动态规划问题转化为静态规划问题，允许不经过离散化近似而对连续时间系统的最优控制问题进行简化。该制导算法间接满足弹体姿态角约束。仿真结果表明，该制导方法能够很好地满足制导要求。

1 G-MPSP制导算法推导

对于一般形式的非线性系统，其状态方程和输出方程如下：

式中：X∈ℜn为状态量，U∈ℜm为控制量，Y∈ℜp为输出量。G-MPSP算法需要选择初始控制量，通过对非线性系统进行优化以改进当前的控制量U(t)，使得末端时刻tf的输出量Y(tf)→Yd(tf)，Yd(tf)为期望的输出量。

末端时刻tf对应的输出量偏差可表示为：

通过对控制量进行更新使得δY(X(tf))→0。下面详细介绍G-MPSP算法推导过程。

首先，式(1)两边同时乘以W(t)，得：

式中：权矩阵W(t)∈ℜp×n，W(t)的作用是将系统状态方程映射到输出空间。

式(4)从t0到tf积分，得：

将Y(X(tf))加到式(5)左右两边，得：

对式(6)最后一项进行分步积分，得：

将式(7)代入式(6)，得：

对式(8)左右两边进行变分运算，得：

通过选择权矩阵W(t)使式(9)中与δX(t)相关的项为零，得到关于W(t)的微分方程和边界条件：

在t∈[tf,t0]范围内反向积分式(10)可对W(t)进行求解，积分初始条件见式(11)。式(10)中W(t)的求解类似于有限时间线性二次调节器问题中黎卡提方程的求解，不同于调节器问题，权矩阵W(t)与性能函数的选择无关。

由于初始条件是确定的，因此令式(9)中δX(t0)=0。将式(10)代入式(9)中，得到简化后的表达式：

其中，

式(12)中，Bs(t)可看作控制量偏差δU(t)和输出量偏差δY(X(tf))之间的灵敏矩阵，即式(12)建立了末端时刻tf对应的输出量偏差和t∈[t0,tf)时间历程内的控制量偏差之间的联系。

考虑如下形式的性能指标：

式中：Up(t)代表更新前的控制量，δU(t)为更新后控制量与更新前控制量偏差。

以上的推导将动态优化问题的求解转换为满足末端约束式(12)和性能指标式(14)的静态优化问题。因此，考虑到末端状态约束，式(14)表示的性能指标函数可转换为：

式中：λ∈ℜp为静态拉格朗日乘子。对式(15)进行变分运算，得到以下方程：

由式(16)得：

将式(18)代入式(17)，得：

其中，

当Aλ非奇异时，由式(19)得：

拉格朗日乘子λ是一个静态变量，可由式(22)计算得到。利用最优控制理论求解时变协态变量是个很复杂的问题，但是本文所采用的G-MPSP算法完全避免了这个问题。

将式(22)代入式(18)，得：

由式(23)可得到更新后的控制量：

G-MPSP算法将动态优化问题转化为静态优化问题进行求解，静态拉格朗日乘子通过一个显式表达式计算，这种处理使优化问题大大简化。

2 G-MPSP制导律设计

导弹与目标在三维平面内运动如图1所示，Vm、γm和ψm分别为导弹速度、弹道倾角和弹道偏角，(xm,ym,zm)为导弹位移，az和ay为测量加速度。

要求导弹精确击中目标，并且满足如下约束：弹道偏角ψm(tf)→ψmf，弹道倾角γm(tf)→γmf，法向过载az(tf)→0，ay(tf)→0。并且在飞行过程中法向过载最小。

图1 导弹目标运动示意图Fig.1 Engagement geometry of missile and target

X=(Vm,γm,ψm,xm,ym,zm,az,ay)为导弹状态量，取指令加速度U=(azc,ayc)为控制量。对状态量和控制量进行归一化处理，得归一化后的状态方程：

式中：带下标n的量表示归一化后的变量，带有*号上标的量代表归一化参考量，Tm为推力，Dm为阻力，τ为导弹自动驾驶仪时间延迟参数。归一化后的状态方程可表示成：

选择如下输出量作为末端状态约束：

式中：末端输出量Yn中的元素都经过归一化处理。

式(25)对状态量Xn微分，得：

式(25)对控制量Un微分，得：

式(27)对状态量Xn(tf)微分，得：

G-MPSP算法执行时，通过通用显式制导(Generalized Explicit Guidance)对初始控制量进行猜测，下文中通用显式制导简称GE制导。文献[14]给出的惯性系下GE制导指令如下：

式中：k1=(n+2)(n +3)，k2=-(n+1)(n+2)，n为正整数；Xf和Vf为导弹期望的末端位置和速度，Xm和Vm为导弹飞行时的位置和速度。式(31)中的第一项类似于传统的比例导引，第二项可以对末端速度进行约束。aI(t)经过坐标转换可得到弹道坐标系下的法向过载指令U=(azc,ayc)[14]。

G-MPSP制导律设计流程如下：

① 选择初始控制量。本文通过GE对初始控制量进行猜测，这一步将给出导弹的飞行时间tf。

② 通过对导弹和目标末端时刻tf的状态预测，求输出量偏差δY(tf)=Yd(tf)-Y(tf)。如果差值满足设计要求，程序结束；如果不满足要求，执行步骤③。

③ 对式(10)和(11)进行数值积分计算W(t)，本文采用四阶龙格库塔方法。

④ 由式(13)计算Bs(t)。

⑤ 由式(20)和式(21)计算Aλ和bλ。

⑥ 最后，由式(23)和式(24)计算δU(t)和U(t)，令Up(t)=U(t)，回到步骤①进行下一步迭代。

3 数值仿真

以某导弹对地面机动目标攻击进行数值仿真。导弹质量：t≤6 s时，mm=165 kg；t＞6 s时，mm=150 kg。导弹推力：t≤6 s时，Tm=5880 N；t＞6 s时，Tm=0 N。导弹参考面积：Sm=0.0324 m2。阻力Dm计算参考文献[14]。导弹初始速度为635 m/s，初始位置为(10000 m, 5000 m, 5000 m)，初始弹道倾角和弹道偏角为(0°, 170°)。目标速度为常值20 m/s，初始位置为(1000 m, 0 m)，初始航迹偏角为60°。归一化速度、角度、位移和加速度分别取为600 m/s、50°、5000 m和9.81 m/s2。GE制导参数n=1，APN制导系数Ne=3，导弹自动驾驶仪时间延迟参数τ=0.2 s，仿真步长取为0.02 s。

3.1 不同目标机动方式数值仿真

本节研究目标以不同方式机动，基于G-MPSP制导算法的数值仿真。导弹末端时刻弹道倾角和偏角期望值为(-60°, 260°)。目标的运动模型参照文献[14]，假设制导系统可以准确获得目标的状态信息，目标运动方式如下：

① 正弦加速度机动，ayT=2gsin(ωt)，机动频率ω=1 rad/s；

② 常值加速度机动，ayT=g；

③ 直线运动，ayT=0，ψT为常值。

给定G-MPSP算法迭代终止条件：末端位置偏差小于1 m，末端落角偏差小于0.2°，末端法向加速度大小小于0.01 m/s2。由GE算法给定初始控制量。

仿真时，经过6次迭代可以满足各种末端约束，末端位移偏差均小于0.5 m。图2和图3分别为目标以不同的方式机动时导弹弹道倾角γm和弹道偏角ψm的变化曲线，弹道倾角和偏角均可控制在0.01°范围内。图4和图5分别为导弹法向过载az和ay的变化曲线，末端时刻法向加速度az和ay的值均小于0.01 m/s2。导弹击中目标前法向过载快速趋于零，但变化的范围并不大，并没有出现剧烈突变。末端时刻法向过载趋于零表明导弹的弹道倾角和弹道偏角与导弹在纵向平面和侧向平面内的姿态角近似相等，即间接满足末端弹体姿态角约束。另外，本文所采用的制导算法与单纯GE[14]制导相比，攻击机动目标时制导精度大幅度提高，传统的PN制导律[13]攻击机动目标时末端时刻法向过载会发散。

图2 目标机动方式不同弹道倾角变化曲线Fig.2 Time histories of γmfor various target maneuvers

图3 目标机动方式不同弹道偏角变化曲线Fig.3 Time histories of ψmfor various target maneuvers

图4 目标机动方式不同法向过载az变化曲线Fig.4 Time histories of azfor various target maneuvers

图5 目标机动方式不同法向过载ay变化曲线Fig.5 Time histories of ayfor various target maneuvers

3.2 不同末端落角约束数值仿真

本节研究G-MPSP算法在不同落角约束条件下的数值仿真。导弹末端时刻弹道倾角期望值为(-50°, -70°, -80°)，弹道偏角期望值为(220°, 240°, 250°)。目标作正弦机动，其它仿真条件参照3.1节。

图6 不同落角约束弹道倾角变化曲线Fig.6 Time histories of γmwith impact angle constraints

图7 不同落角约束弹道偏角变化曲线Fig.7 Time histories of ψmwith impact angle constraints

图8 不同落角约束法向过载az变化曲线Fig.8 Time histories of azwith impact angle constraints

迭代终止条件参照3.1节。仿真时，经过6次迭代可以满足各种末端约束。末端位移偏差均小于0.5 m。图6和图7分别为末端落角约束不同时导弹弹道倾角γm和偏角ψm的变化曲线，弹道倾角和偏角的偏差均可控制在0.01°范围内。图8和图9分别为导弹法向过载az和ay的变化曲线，末端时刻法向加速度az和ay的值均小于0.01 m/s2，末端时刻法向过载趋于零，即间接满足末端弹体姿态角约束。但是，随着末端落角约束的增大，法向过载在末端时刻的变化范围随着增大，这是由于大的末端落角约束需要比较大的法向过载对落角进行调节，而法向过载在末端时刻又必须满足零值约束。

图9 不同落角约束法向过载ay变化曲线Fig.9 Time histories of aywith impact angle constraints

4 结 论

本文针对带有末端弹体姿态角约束的机动目标三维非线性制导问题，设计了一种新的通用模型预测静态规划(G-MPSP)制导算法。通过对末端法向过载进行零值约束，间接地满足了末端弹体姿态角约束。

仿真验证了该算法的有效性。本文所给出的方法可以为工程领域带有末端弹体姿态角约束的非线性制导问题研究提供参考。

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Nonlinear guidance law with terminal body angle constraints

LI Xin-san1, WANG Li-xin1, YAN Xun-liang1, LIU Guo-hui2, WANG Ming-jian2, DING Bang-ping2
(1. Department 3, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Petty Officer Academy, The Second Artillery Engineering University, Qingzhou 262500, China)

In view of 3D nonlinear guidance problems with terminal multi-constraints, a guidance algorithm based on predictive static programming of a generalized model is designed. A key feature of the technique is backward propagation of weighted matrix dynamics, which is used to update the controlhistory and transfer dynamic optimization into static one with high computational efficiency. The basic principle of the technique is given, and the design of the guidance law is presented. The designed guidance law satisfies the terminal lateral-acceleration constraints, and hence indirectly satisfies the terminal body angle constraints. Various maneuvering accelerations and impact angles of targets are considered in simulations, and the results show that final miss displacement is less than 0.5 m, terminal impact angle errors are less than 0.01°, and terminal lateral accelerations are less than 0.01m/s2, adequately meeting the constraints of terminal displacement, impact angle, and lateral acceleration.

generalized model predictive static programming; guidance law; impact angle constraints; lateral acceleration constraints; body angle constraints

V448

A

1005-6734(2015)02-0232-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.017

2014-11-07；

2015-02-10

国家自然科学基金（61203354）

李新三（1982—），男，博士研究生，从事导航制导与仿真技术研究。E-mail：xinsan_2006@163.com

联 系 人：汪立新（1966—），男，教授，博士生导师。E-mail：wanglixin066@sina.cn