浅谈柯西不等式的证明和推广及应用

陆唯巍

摘 要：柯西不等式是数学中一个较为重要的不等式之一，它以对称和谐的结构和广泛的应用引起了学者的讨论，并出现了许多的变式。本文从三角函数不等式证明引入，再给出经典柯西不等式的8种证明方法，以及在其他数学分支中的推广形式，利用这些推广形式推导和证明了中学数学和其他数学分支中的一些重要公式，通过一系列的例题，反映了柯西不等式在函数求最值及其在几何上（距离）的广泛应用。

关键词：柯西不等式；证明；应用；推广

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）03-010-03

一、三角函数不等式证明引入

试证不等式

分析：该三角函数不等式中含有绝对值和根式，按常规思路先做平方后化简。

证明：将不等式两边平方，左端和右端相减，得：

所以原不等式成立。

二、柯西不等式的形式

定义1（二维形式的柯西不等式）：

若a，b，c，d都是实数，则 ，

当且仅当ad=bc时，等号成立。

定义2（柯西不等式的向量形式）：

定义3（二维形式的三角不等式）：

定义4（一般形式的柯西不等式）：

三、柯西不等式的证明

方法1（向量数量积的定义）：

这就是二维形式的柯西不等式。

同理证明一般形式的柯西不等式。

方法2（构造法）：

方法3（配方法）：

方法4（二次型）：

方法5（数学归纳法）：

方法6（利用基本不等式）：

方法7（行列式）：

方法8（线性相关）：

四、柯西不等式的推广

五、柯西不等式的应用

灵活运用柯西不等式可以使一些复杂的数学问题的解题过程得到简化。