抛物线开度的定义、计算公式及其应用

郭柏寿

【摘要】在初等数学书刊中，有关抛物线开口的比较都是定性化的描述，即：抛物线解析式二次项系数绝对值越大，开口越小;反之，开口越大.对于抛物线开口大小的量化问题尚未见报道，也就是当解析式给定后，如何判断一条抛物线开口是另一条的几倍或几分之几，或者如何判定两条抛物线在几何形状上全等？基于这些问题，提出抛物线开度的定义，推导出抛物线开度的计算公式;举例说明这一新的概念在与抛物线有关的问题求解中的具体应用.建议在今后的初等数学书刊编辑中引入该概念，以加深学生对抛物线性质的理解.

【关键词】抛物线;开度;计算公式;应用

初等数学中函数及其图像的理解对学生而言比较抽象，尤其涉及函数y=ax2+bx+c时，都知道其图像为抛物线，然而当a，b，c变化时，函数的图像如何变化？对于形如y=kx+b的函数，可以说抛开直线的函数表达形式，单纯就其欧几里得几何形状而言，直线只有一种，即平面或空间内不同位置的直线经过平移或旋转后均可重合.然而针对抛物线能这么判断吗？抛物线重合或就其几何性状来讲全等的条件是什么？怎样量化一条抛物线开口大小是另一条的几倍或几分之几？在初等数学教材及著作中，对于y=ax2这样的函数仅表明：当|a|越大时其图像开口越小，|a|越小时开口越大. 可见，目前对抛物线开口大小仍处于描述或定性表述阶段.那么抛物线开口大小如何定量表述呢？怎么证明当|a|相等时，两条抛物线单纯就其几何形状而言一模一样（即可以重合到一起或简称全等）？

鉴于以上问题，特引入抛物线开度的定义，并推导出开度的计算公式，最后简要说明这一新的概念引入后的具体应用.建议在今后初等数学书刊编辑中对该定义给予推广和应用.

一、抛物线开度的定义

如果要比较两条抛物线开口的大小，唯一的方法就是让其顶点和对称轴分别重合，开口朝向同一方向，然后从对称轴上任取一点，过该点作垂直于抛物线对称轴的直线，分别与两条抛物线交于两点，比较这条直线被两条抛物线截得的线段长度，开口的大小便可一目了然（图1），当截得的线段相等时，两条抛物线必然一模一样.

图1 抛物线开口大小比较的思路

故得衡量抛物线开口大小的“抛物线开度”定义如下：对于解析式为y=ax2+bx+c的抛物线，在其对称轴上任取一点T，过T作对称轴的垂线，与抛物线交于两点A和B，设抛物线的顶点为M（图2），则将|AB|2|TM|称之为抛物线的开度，并以σ表示，即σ=|AB|2|TM|.

二、抛物线开度公式的推导

如图2，作y=ax2+bx+c的图像，显然其对称轴方程为x=-b2a，则顶点M的坐标为-b2a，-b2-4ac4a，过T点垂直于对称轴的直线必然平行于x轴，T的坐标为（-b2a，t），则该垂线解析式为y=t，它与抛物线两个交点分别为A（x1，t）和B（x2，t），可知x1和x2是方程ax2+bx+c=t的两个解.

图2 抛物线开度定义图示

即：x1=-b-b2-4a（c-t）2a，

x2=-b+b2-4a（c-t）2a，

|AB|=|x2-x1|=-b+b2-4a（c-t）2a-

-b-b2-4a（c-t）2a=b2-4a（c-t）a，

|TM|=t-（-b2-4ac4a）=b2-4a（c-t）4a，

故可知σ=|AB|2|TM|=b2-4a（c-t）a2b2-4a（c-t）4a=4|a|.

可见：抛物线的开度与所选T点没有任何关系，只与解析式二次项的系数有关，而且当二次项系数一定时，其开度为定值;如果σ相等，那么两条抛物线几何形状相同，亦即可以相互重合或称作全等.

三、抛物线开度的应用

1.比较任意两条抛物线开口的大小

对于任意的两条抛物线而言，比如：A1x2+B1x+C1y+D1=0和A2x2+B2x+C2y+D2=0 （A1，A2，C1，C2均不等于0），要比较它们开口大小，首先将其一般式分别变形如下：

y=-A1C1x2-B1C1x-D1C1，①

y=-A2C2x2-B2C2x-D2C2.②

可知方程①和②的二次项的系数分别为：-A1C1和-A2C2.

由上节推导的抛物线开度公式得：

σ1=4C1A1;σ2=4C2A2

比较σ1和σ2的大小，便知两条抛物线开口的大小.

2.在与抛物线有关的解析几何问题求解中的应用

例题：已知抛物线y=ax2+bx-c与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x21+ x22=269，又知另一条抛物线y=3（x-1）2，问后一条抛物线向上平移几个坐标单位能和y=ax2+bx-c的图像重合？

解 将y=-3（x-1）2的右边展开，得：

y=-3x2+6x-3.③

③式的图像要平移后和y=ax2+bx-c的图像重合，那说明这两条抛物线几何形状相同，即它们开度相等，且开口朝向相同，所以可知：

a=-3.④

由原题知，仅是上移后就重合，说明两条抛物线对称轴重合，即它们对称轴方程相同，而对称轴方程为：x=-b2a，既然二次项系数a都为-3，那么一次项系数b也相等，即：

b=6.⑤

又因为x1和x2是ax2+bx-c=0的两个根，所以：

x1+x2=-ba  ⑥

x1x2=-ca⑦

由⑥和⑦得：x21+x22=b2+2aca2，即：

b2+2aca2=269.⑧

联立④⑤⑧得：

a=-3，

b=6，

b2+2aca2=269，

可求得：c=53.

y=ax2+bx-c即为y=-3x2+6x-53.⑨

⑨-③，得：

Δy=-53-（-3）=43.

因此，可知后一条抛物线向上平移43个坐标单位即可与y=ax2+bx-c的图像重合.

四、结 语

经查阅大量相关文献，尚未发现抛物线开度的定义及其计算公式.

引入抛物线开度定义后，在描述抛物线开口大小的时候就具有了定量化的公式，教师不必再以定性化的表述去说明抛物线的开口程度，这样做有助于学生对概念的精准理解和把握，并使学生积极大胆地将新概念所赋予的知识信息应用到解决问题之中.所以，这个概念的确立有一定意义，建议在初等数学书刊编辑中给予应用.

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