浅谈抽象函数的图像对称性、周期性及奇偶性的关系

肖浩春

【摘要】函数是中学数学的主要内容，本文将阐述函数的图像具有对称性的充要条件以及函数图像的对称性、函数的周期性、函数的奇偶性三者之间的关系.

【关键词】函数;性质;关系

函数是支撑数学科知识体系的主要内容，是贯穿中学数学的一条主线，是学习高等数学的基础，因此在每年的高考数学试题中，函数试题占有较高的比例，并达到必要地深度.本文将对函数的图像对称性、周期性及奇偶性的关系作一些探讨.

定理1：函数y=f（x）的图像关于直线x=a+b2 对称的充要条件是f（a-x）=f（b+x）对定义域内的每一个x都成立.

证明 充分性：若f（a-x）=f（b+x）对定义域内的每一个x都成立，设P（x0，y0）是y=f（x）的图像上的任一点，则y0=f（x0），点P关于直线x=a+b2 的对称点是Q（a+b-x0，y0）.

∵f（a+b-x0）=f[b+（a-x0）]=f[a-（a-x0）]=f（x0）=y0，

∴点Q（a+b-x0，y0）在函数y=f（x）的图像上，∴y=f（x）的图像关于直线 x=a+b2对称.

必要性：若函数y=f（x）的图像关于直线 x=a+b2对称，设A（x，y）是y=f（x）的图像上的任一点，则y=f（x）上点A关于直线x=a+b2 的对称点为B（a+b-x，y）.∵y=f（x）的图像关于直线x=a+b2对称，点B在y=f（x）的图像上，∴f（a+b-x）=y.∴f（a+b-x）=f（x）.

∴f（a-x）=f[a+b-（b+x）]=f（b+x）.

特殊地，当a=b=0时，定理1为：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（-x）=f（x）对定义域内的每一个x都成立.这是偶函数的一个性质.

推论1：函数y=f（x）的图像关于直线x=a+b2 对称的充要条件是f（a+b-x）=f（x）对定义域内的每一个x都成立.

推论2：函数y=f（x）的图像关于直线x=a+b2 对称的充要条件是f（a+b+x）=f（-x）对定义域内的每一个x都成立.

定理2：函数y=f（x）的图像关于点（a+b2，0）对称的充要条件是f（a-x）=-f（b+x）对定义域内的每一个x都成立.

证明 充分性：若f（a-x）=-f（b+x）对定义域内的每一个x都成立，设P（x0，y0）是y=（x）的图像上的任一点，则y0=f（x0）上点P关于点a+b2，0的对称点为Q（a+b-x0，-y0）.

∵ f（a+b-x0）=f[a-（x0-b）]=-f[b+（x0-b）]=-f（x0）=-y0，

∴点Q（a+b-x0，-y0）在y=f（x）的图像上.∴y=f（x）的图像关于点a+b2，0对称.

必要性：若y=（x）的图像关于点（a+b2，0）对称，点A（x，y）是y=f（x）的图像上的任一点，则y=f（x）上点A关于点（a+b2，0）的对称点为B（a+b-x，-y）.∵y=f（x）的图像关于点（a+b2，0）对称，∴点B在y=f（x）的图像上.∴f（a+b-x）=-y.∴f（a+b-x）=-f（x）.

∴f（a-x）=f[a+b-（b+x）]=-f（b+x）.

特殊地，当a=b=0时，定理2为：函数y=f（x）的图像关于原点对称的充要条件是f（-x）=-f（x）对定义域内的每一个x都成立.这是奇函数的一个性质.

推论1：函数y=f（x）的图像关于点（a+b2，0）对称的充要条件是f（a+b-x）=-f（x）对定义域内的每一个x都成立.

推论2：函数y=f（x）的图像关于点（a+b2，0）对称的充要条件是f（a+b+x）=-f（-x）对定义域内的每一个x都成立.

定理3：（1）y=f（x）的图像关于直线x=a对称;（2）y=f（x）的图像关于直线x=b（b≠a）对称;（3）y=f（x）是周期函数，且T=2（b-a）为其一个周期.

以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，得到的三个命题均是真命题.

若以（1）（2）为条件，（3）为结论.

证明 ∵y=f（x）的图像关于直线x=a与x=b对称，

∴f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x）.

∴f[x+2（b-a）]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函数，且T=2（b-a）是它的一个周期.

若以（1）（3）为条件，（2）为结论.

证明 ∵y=f（x）的图像关于直线x=a对称，∴f（2a-x）=f（x）.又∵y=f（x）是周期函数，且2（b-a）是它的一个周期，

∴f[x+2（b-a）]=f（x）.

∴f（2b-x）=f[2a-x+2（b-a）]=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）的图像关于直线x=b对称.

同理可证以（2）（3）为条件，（1）为结论所得的命题的正确性.

推论：（1）y=f（x）是偶函数;（2）y=f（x）的图像关于直线x=a（a≠0）对称;（3）y=f（x）是周期函数，且T=2a为其一个周期.

以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，所得的三个命题均是真命题.

定理4：（1）y=f（x）的图像关于点（a，0）对称;（2）y=f（x）的图像关于点（b，0）（b≠a）对称;（3）y=f（x）是周期函数，且T=2（b-a）为其一个周期.

以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，所得的三个命题均为真命题.

若以（1）（2）为条件，（3）为结论.

证明 ∵y=f（x）的图像关于点（a，0）与（b，0）对称，

∴f（2a-x）=-f（x），f（2b-x）=-f（x）.

∴f[x+2（b-a）]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函数，且T=2（b-a）是它的一个周期.

若以（1）（3）为条件，（2）为结论.

证明 ∵y=f（x）的图像关于点（a，0）对称，∴f（2a-x）=-f（x）.又∵y=f（x）是周期函数，且T=2（b-a）是它的一个周期，

∴f[x+2（b-a）]=f（x）.

∴f（2b-x）=f[2a-x+2（b-a）]=f（2a-x）=-f（x）.

∴y=f（x）的图像关于点（b，0）对称.

同理可证以（2）（3）为条件，（1）为结论所得的命题的正确性.

推论：（1）y=f（x）是奇函数;（2）y=f（x）的图像关于点（a，0）（a≠0）对称;（3）y=f（x）是周期函数，且T=2a为其一个周期.

以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，所得的三个命题均是真命题.

定理5：若y=f（x）的图像关于直线x=a对称，且关于点（b，0）（b≠a）对称，则y=f（x）是周期函数，且T=4（b-a）为其一个周期.

证明 ∵y=f（x）的图像关于直线x=a对称，且关于点（b，0）对称，

∴f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=-f（x）.

∴f[x+4（b-a）]=f[2b-（4a-2b-x）]=-f（4a-2b-x）

=-f[2a-（2b-2a+x）]=-f（2b-2a+x）=-f[2b-（2a-x）]

=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函数，且T=4（b-a）为其一个周期.

推论1：若y=f（x）是偶函数，且其图像关于点（a，0）（a≠0）对称，则y=f（x）是周期函数，且T=4a为其一个周期.

推论2：若y=f（x）是奇函数，且其图像关于直线x=a（a≠0）对称，则y=f（x）是周期函数，且T=4a为其一个周期.

例1 已知函数f（x）定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式f （2+x）=f（2-x）和f（7+x）=f（7-x），设x=0是f（x）=0的一个根，记f（x）=0在[-1000，1000]中的根的个数为N，求N的最小值.（1984年第2届美国数学邀请赛试题）

解 依题意，f（x）的图像关于直线x=2和x=7对称，据定理3知f（x）是周期函数，且T=2（7-2）=10为其一个周期，又f（4）=f（2+2）=f（2-2）=f（0）=0，f（10）=f（7+3）=f（7-3）=f（4）=0，∴f（x）=0在[0，10）上至少有两个根.∴f（x）=0在[-1000，1000]上至少有200×2+1=401个根.故N的最小值为401.

例2 已知y=f（x）是奇函数，且f（3）=50，g（x）=f（x+2）也是奇函数，试求f（2003）的值.

解 ∵g（x）=f（x+2）是奇函数，∴其图像关于点（0，0）对称.∴y=f（x）的图像关于点（2，0）对称.据定理4的推论知f（x）是周期函数，且T=4为其一个周期.