解析几何命题规律与备考策略

高慧明

“解析几何”专题包括直线的方程，圆的方程，空间向量及其应用，圆锥曲线与方程. 近几年来全国高考试题本专题中先后涉及到60多个知识点，覆盖率大约为50%，解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.在高中教材中的分量占不到13.5%，在高考试卷中占将近18%.

一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道;其所占平均分数为21分，所占平均分值比例约为14%.理科试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15～0.52，平均难度0.29，解答题难度在0.11～0.30，平均难度0.17）.

对数学技能方面，主要考查直线与圆锥曲线位置关系问题的探究技能;对数学能力方面，主要考查数学基本能力中的运算能力和推理论证能力.其中，推理论证能力47%，运算求解能力49%.

直线方程，直线与圆仍然比较重要，虽然它们不是求解的最终结论，但是很多理科数学的直线与圆锥曲线的综合性试题中会考查直线与圆的位置关系问题，因此，它们在解题的过程中还是起到重要的作用，在复习中还是要重视它们.

根据上述分析可以看出，理科数学高考命题在本专题中特别突出了圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程，椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，特别是求离心率、焦半径等，解答题重点考查综合运用直线与圆的位置关系、圆锥曲线知识的能力，考查直线和圆锥曲线位置关系的问题，与圆锥曲线有关的最值问题.体现了对逻辑推理论证能力的考查和运算能力的考查.

从知识范围来看，本专题是高考命题的重点之一，主要是直线与圆锥曲线的位置关系，具体来说就是定比分点、中点、弦长、面积问题，甚至需要建立函数关系求取值范围.此内容主要是以主要以解答题的形式出现，分值高，难度大.其次分析圆锥曲线的几何性质，求解曲线的特征量，如离心率、焦半径等也是主要的考查内容，分析圆锥曲线的几何性质，求解曲线的特征量几乎每年必考，以选择、填空形式或解答题第1小题的形式出现.

从题型分布来看，一般出现两道选择题和填空题，一道解答题，分值是5、5、12.

从试题难度来看，选择、填空题一般在0.15～0.52之间，平均难度约为0.29，属于中高难度，解答题难度在0.11～0.30之间，平均难度约为0.17，接近高难度.

上述考查宗旨和特点已呈现出持续持续且稳定的趋势，在今后的高考命题中很可能延续这一命题思路.

第一单元 直线、圆的方程

【考点聚焦】

直线、圆的方程主要内容有：直线的方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离、对称问题，圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、空间直角坐标系和两点间的距离公式.

【经典解析】

考点1：直线及其位置关系

例1. 已知直线l1∶（4-k）x+（k-3）y+1=0与l2∶2x-2（k-3）y+3=0平行，则k的值是（ ）

A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①当斜率存在时，两条直线斜率相等，且不重合;当斜率不存在时，两条直线平行或重合;②需要根据斜率是否存在分类讨论.

【收获与点评】本题主要考查直线的位置关系，注意事项是根据一般方程求斜率时一定要考虑斜率不存在的情况.难度是0.87，属于容易题.

例2. 若直线m被两平行线l1∶x-y+1=0与l2∶x-y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.其中正确答案的序号为____________.（写出所有正确答案的序号）

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①利用两条平行线间距离公式求得两平行线间的距离;②再利用解三角形的知识求两条直线的夹角;③结合平行线l1与l2的倾斜角求m的倾斜角.

解析：求得两平行线间的距离为，则m与两平行线l1、l2的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故答案是①⑤.

【收获与点评】本题主要考查直线的位置关系，主要难点在于确定m与两平行线l1、l2的夹角，难度是0.37，属于中等难度的题目.

考点2：对称问题

例3. 已知圆：C1∶（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为（ ）

A. （x+2）2+（y-2）2=1 B. （x-2）2+（y+2）2=1

C. （x+2）2+（y+2）2=1 D.  （x-2）2+（y-2）2=1

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①圆心C1（-1， 1）;②依据圆心C1和C2关于直线x-y-1=0对称求出点C2的坐标.

【收获与点评】本题主要考查圆的方程的求法和直线与圆的位置关系，关键在于确定圆心坐标和半径，难度是0.37，属于中等偏难的试题.

例5. 圆C过点A（1，2）、B（3，4），且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程是____________.

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①点A、B都在圆C上，则圆心C在AB的垂直平分线上;②利用垂直得到直线BC的斜率是-1.

解析：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则D+2E+F=-5……①;3D+4E+F=-25……②

令y=0，得x2+Dx+F=0.

设圆C与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=-D，x1x2=F.

∵|x1-x2|=6，∴（x1+x2）2-4x1x2=36，即D2-4F=36……③

由①②③式解得D=12，E=-22，F=27或D=-8，E=-2，F=7.

∴圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.

∵⊙C过点A、B，则圆心在线段AB的中垂线上，于是圆心C的坐标可用一个未知数表示，再由⊙C在x轴上截得弦长为6，解直角三角形即可.

【收获与点评】本题主要考查圆的方程的求法和直线与圆的位置关系，关键在于选择合适的圆的方程形式，本题选择一般方程，再根据题设运用待定系数法求系数，难度是0.59，属于容易题.

考点4：直线与圆的位置关系

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：

①曲线程可化为（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），表示圆心为（2，3）半径为2的半圆;

②利用相切建立方程求b.

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①圆心为C（3，2）;②依据垂径定理利用弦长的范围求弦心距的范围;②利用k表示弦心距;③建立关于k的不等式.

【收获与点评】本题主要考查直线与圆相交所得弦长的求法，点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用.难度是0.67，属于中等难度的题目.

例8. 设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围;

（Ⅱ）求圆C 的方程;

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b无关）请证明你的结论.

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①f（x）的图像与x轴有两个交点，即Δ>0;②设圆的一般方程，然后根据交点关于参数的方程;③假设圆C 经过某定点（x0，y0）（其坐标与b 无关），则++2x0-（b+1）y0+b=0对于b∈R恒成立，建立关于x0，y0的方程.

解析：（Ⅰ）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）. 令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0 且Δ>0，解得b<1 且b≠0.

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

令y=0 得x2+Dx+F这与x2+2x+b=0 是同一个方程，故D=2，F=b.

令x=0 得y2+Ey=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1.

所以，圆C 的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（-2，1）.

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边=02+12+2×0-（b+1）+b=0，右边=0，所以圆C 必过定点（0，1）.同理可证圆C必过定点（-2，1）.

【收获与点评】本题主要考查二次函数图像与性质、圆的方程的求法以及曲线过定点的问题.难度系数0.42，属于中档题.

考点5：圆与圆的位置关系

例9. 若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a>0）的公共弦的长为2，则a=             .

【收获与点评】本题考查圆与圆的位置关系和弦长，依据垂径定理建立关于a的方程.难度系数0.42，属于中档题.

考点6：与圆有关的最值问题

例10. 已知直线l∶x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为          .

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①圆心C（1， 1）;②圆上各点到直线距离的最大、最小值分别为圆心到直线距离加、减半径.

【收获与点评】本题主要考查对称性问题，关键利用数形结合的方法分析出在何处取得最小值.难度是0.80，属于中等难度的题目.

例11. 已知AC、BD为圆O∶x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①圆心C（1， 1）;②对于圆上任意一点P，设PQ⊥l，CD⊥l，由图可知，PQ+PC≥DC，即PQ≥DC-CP=DC-1当且仅当P在点B处时取等号.

【收获与点评】本题主要考查直接法求轨迹方程，并利用参数方程建立三角函数求最值.难度是0.36，属于中等难度的题目.

与圆有关的最值问题的解法是：（1）几何法：利用数形结合的方法;（2）代数法：选择合适的变量建立函数关系，常见的函数关系有三角函数、代数函数等;（3）利用重要不等式求最值.

【备考策略】

本单元在高考试卷中平均约占5～10分，对考生空间想象能力的要求较高，试题难度中等偏易.因此，其复习时间应有2课时为宜，并且配以适量的课后作业.

本单元应重点掌握的知识包括：直线的方程的各种形式及其位置关系，圆的标准方程和一般方程，直线和圆的位置关系，直线和圆的相交的弦长的求法，以及与圆有关的最值问题.从近年的高考试题来看，还应该熟练掌握以下几点：

1. 直线系的应用：平行系、垂直系、交点系.

2. 直线与圆的位置关系的判断用点到直线的距离与半径比较;直线与圆相交的弦长依据垂径定理利用直角三角形计算较为简洁，同时尽量少设未知数，从而可减少计算量.

3. 对于与圆有关的综合问题，全面综合地考查了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.

第二单元    圆锥曲线与方程

【考点聚焦】

圆锥曲线与方程的主要内容有三种圆锥曲线的的定义、标准方程、简单几何性质：

【经典解析】

考点1：求圆锥曲线的方程

【收获与点评】本题主要考查用待定系数法求双曲线方程，顺利解题的关键在于渐近线与圆相切求出渐近线方程，并牢固掌握三种圆锥曲线的基本量之间的关系，难度是0.59，属于中档题.

例5. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）

A. y2=-8x B. y2+8x C. y2=-4x D. y2=4x

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：利用抛物线的标准方程求出P的值.

解析：由题意，P=4，则抛物线方程是y2=8x. 故选B.

【收获与点评】本题主要考查抛物线方程，难度是0.96，属于容易题.

例6. 设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A. 若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）

A. y2=±4x B. y2=±8x C. y2=4x D. y2=8x

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①用a表示直线方程，并求出在y轴上的截距;②用a表示△OAF的面积，建立关于a的方程，求出a的值.

【收获与点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

例8. 设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）

【收获与点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，解题关键是利用双曲线定义和余弦定理求出焦半径之积，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.本题难度是0.73，属于容易题.

例10. 已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3， 则有（ ）

A. |FP1|+|FP2|=|FP3|    B. |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3| D. |FP2|2=|FP1|·|FP3|

（2） 设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程.

【收获与点评】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与椭圆相交所得弦长的问题，关键在于根据题设得到弦长，再用韦达定理表示弦长，难度是0.21，属于难题.

【备考策略】

本单元在高考试卷中平均约占10～12分，两道客观题或一道客观题加上一道解答题.对考生逻辑思维能力、运算能力的要求较高，试题难度中等偏难.主要从考查以下考点：以客观题的为主要命题形式考查圆锥曲线的定义、标准方程和简单几何性质.因此，其复习时间应有2课时为宜，并且配以适量的课后作业.

本单元应重点掌握的知识主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程的求法、简单几何性质、特征量如离心率、焦半径、通经等.在近年高考试题中考查的平均频率几乎是100%，属于历年高考必考考点.

第三单元 直线与圆锥曲线

【考点聚焦】

圆锥曲线与方程的主要内容有：直线与圆锥曲线的位置关系，定比分点、中点、弦长、面积以及其他综合应用.

【经典解析】

考点1：直线与圆锥曲线位置关系问题

由y′=-x-m，x2=4y，得x2+4x+4m=0，从而，？驻=42-4×4m=16（1-m）.

（1）当m=1时，即？驻=0时，直线l′与抛物线C相切;

（2）当m≠1，那？驻≠0时，直线l′与抛物线C不相切.

综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切;当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切.

【收获与点评】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.

考点2：直线与圆锥曲线相交后形成的分点弦问题

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①有两种方法：第一种方法：过A、B分别作AA1，BB1垂直于l，于点 A1，B1，过B作BE垂直于AA1与E，构造Rt？驻ABE，利用第二定义用| BF |表示| AB |、| AE |;②第二种方法：设直线AB的方程是y=k（x-c），联立后用韦达定理表示交点A、B的横坐标;将=3用坐标表示，最终用字母b，c表示并计算出k的值.

【收获与点评】本题主要考查椭圆的性质与第二定义、直线与圆锥曲线的位置关系，解法1是利用椭圆的性质与第二定义，将待求直线斜率转化为倾斜角的正切值，将角转化到直角三角形中，用三角函数求解.解法2是将直线与椭圆联立得到一元二次方程，巧妙运用韦达定理和向量的坐标运算求解，最终用基本量表示出斜率并求出结果.              .

【收获与点评】本题主要考查抛物线的性质与定义、直线与抛物线的位置关系，解法1是利用抛物线的性质与定义，将待求直线斜率转化为倾斜角的正切值，将角转化到直角三角形中，用三角函数求解.解法2是将直线与抛物线联立得到一元二次方程，巧妙运用韦达定理和向量的坐标运算求解，最终用基本量表示出斜率并求出结果.

考点3：直线与圆锥曲线相交后形成弦的中点问题

例4. 设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1， 0）， 直线l与抛物线C相交于A，B两点. 若AB的中点N为（2，2），则直线l的方程为                  .

【收获与点评】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，本题难度系数为0.17，属于难题.

【备考策略】

本单元在高考试卷中占8～13分，对考生逻辑思维能力和运算能力的要求较高，试题难度属于中高档.因此，其复习时间应有3课时为宜，并且配以适量的课后作业.

本单元应重点掌握的知识包括圆锥曲线的定义、方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的转化.从近年的高考试题来看，还应该着重掌握以下几点：

1. 从近年的高考试题来看，直线与圆锥曲线位置关系的问题是必考的考点之一，是高考的难点之一.这类问题全面综合地考查了解析几何、平面几何、代数的相关知识，常用的解法有两大类：

（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常通过讨论直线方程与圆锥曲线方程联立组成的方程组的根的个数;通常可以消去x（或y）得到关于x、y的方程，结合判别式讨论：当？驻>0时，直线方程与圆锥曲线相交;当？驻=0时，直线方程与圆锥曲线相切;当？驻<0时，直线方程与圆锥曲线相离;

（2）直线与圆锥曲线相交时用韦达定理，表示中点坐标和面积;结合分点弦条件表示弦的端点坐标.

第四单元    圆锥曲线背景下的最值和定值问题

【考点聚焦】

曲线与方程的主要内容有：圆锥曲线背景下的最值和定值问题.

【经典解析】

考点1：与圆锥曲线的有关最值问题

（1）求C的圆心轨迹L的方程;

【收获与点评】本题主要考查数形结合的解题思想，解题关键是结合△PMF成立的条件得出MT2-FT2≤MF，根据图中点、线和双曲线的位置关系，找到取最大值的点T1. 难度是0.53，属于中档题.

例2. 已知曲线C：y=x2与直线l：x-y+2=0交于两点A（xA， yA）和B（xB， yB），且xA

（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程;

【收获与点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.本题难度系数为0.12，属于难题.

【备考策略】

本单元在高考试卷中占8～13分，对考生逻辑思维能力和运算能力的要求较高，试题难度属于中高档. 因此，其复习时间应有3课时为宜，并且配以适量的课后作业.

本单元应重点掌握的知识包括圆锥曲线的定义、方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的转化，与圆锥曲线有关的最值问题和定值问题.从近年的高考试题来看，还应该着重掌握以下几点：

1. 从近年的高考试题来看，与圆锥曲线有关的最值问题是高考的重点和难点之一.这类问题全面综合地考查了解析几何、平面几何、代数的相关知识，常用的解法有两大类（1）几何法：运用数形结合的方法求解;（2）建立函数的方法求圆锥曲线最值问题，涉及知识较广，解题方法灵活，常用的方法有：①利用配方法求二次函数的最值或由判别式求最值;②利用基本不等式求最值;③利用导数法求较一般化的函数最值.

2. 与圆锥曲线有关的定值问题也是复习的一个难点.通常有两种处理这类问题的方法：①从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关;②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点（定值）.

第五单元    曲线与方程

【考点聚焦】

曲线与方程的主要内容有：曲线和方程的概念;求曲线轨迹方程德步骤;求曲线轨迹方程的常见方法.

【经典解析】

考点1：直接法

例1. 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，求点P的轨迹C.

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：设点P的坐标为（x，y），将动点满足的关系直接用用方程表示，化至最简即可.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.

解法二：同解法一可得，T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（x′，y′），则x=（x′+c）/2，y=y′/2，因此x′=2x-c，y′=2y. ……①

将①代入②，得点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.

【收获与点评】本题的解法一与解法二分别用几何法和相关点法求轨迹方程，几何法的关键是将所求轨迹的几何条件与平面几何知识相结合;相关点法的关键是将所求动点坐标表示易求轨迹的点的坐标.难度系数为0.48.

考点4：参数法

例4. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A，B满足AO⊥BO，（Ⅰ）求？驻AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程;（Ⅱ）？驻AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值;若不存在，请说明理由.

【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路：①由于点G的轨迹方程是由于直线OA，OB的斜率的运动变化所致，因此，可用OA的斜率k来表示点G的坐标，从而得到点G的轨迹方程;②可用OA的斜率k来表示，OA，OB进而可以用k来表示？驻AOB的面积，从而建立关于k的函数.

【收获与点评】本体采用交轨法求轨迹方程，交轨法的解题关键是用参数表示动曲线方程，消去参数即可得到所求轨迹方程，本题关键是根据方向向量写出含参数的直线方程，并注意运用分类讨论的思想.难度系数为0.16.

【备考策略】

本单元在高考试卷中平均约占5～8分，对考生逻辑思维能力和运算能力的要求较高，试题难度属于中高档.因此，其复习时间应有2课时为宜，并且配以适量的课后作业.

本单元应重点掌握的知识包括：圆锥曲线的定义、方程等，从近年的高考试题来看，与圆锥曲线有关的轨迹问题问题是高考的难点之一. 这类问题全面综合地考查了解析几何、平面几何、代数、向量等相关知识，常用的解法有：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交轨法.

【综合应对】

综上分析，我们在“解析几何”实际教与学中应该做到：

1. 对基本知识、基本方法、基本技能要求全面掌握（这里包括常见的公式、方法和计算技巧）;

2. 提高计算能力，对计算的合理性程度要求要更高;

3. 注意新课程中的方法渗透（包括参数法和极坐标方法的充分利用）;

4. 关注各类问题（与定点、定值、定方向等有关的问题，存在性问题，求最值与极值的问题，求参数的取值范围或参数的值，求曲线方程或轨迹方程，求直线方程，证明问题，与向量相结合的有关问题，与圆锥曲线相关的应用题，等等），这些都应要求学生全面的把握.

（作者单位：北京市第十二中学）

责任编校   徐国坚