集合、函数与不等式命题规律与备考策略

张琦

“集合、函数与不等式”专题包括集合、函数、不等式三部分内容.其中集合部分几乎是高考必考内容，而函数部分则是高考的重点，不等式或者单独命题或者与其他相关知识相结合综合考查考生的分析问题、解决问题的能力.集合部分如果单独考查，主要考查集合与集合之间的关系以及集合的基本运算.函数相关性质的考查，是高考考查的重点.而且通常会与集合、不等式、方程、数列等知识结合，考查考生的综合能力.不等式部分具有一定的特色，其中线性规划部分是考查的重点，而解不等式以及基本不等式也不能轻视.

从题型上来讲，集合部分的考题主要以选择填空题的形式出现，5分. 就函数题目（不包括导数）而言，考查范围涉及到函数的方方面面，难度覆盖面也很广，但也基本以选择填空题的形式出现，大概10分.不等式部分的考题大致也是以选择填空题出现，大概5分.

从难度上来讲，如果单纯考查集合的概念以及相关运算，属容易题.但是如果将集合与排列组合、数列等知识相结合，则难度变大，属难题.高考对函数知识要求是很高的，考查函数单一性质的简单题目不多;大都是函数性质之间的综合考查，例如图像与解不等式结合、周期性、单调性、奇偶性相结合，等等，较难题的比例较大.而不等式部分的题目由于知识点的限制，以及素质教育的需求，难度有所下降，属中等难度题.

预计该部分试题仍以选择题、填空题为主，难度保持稳定，要求考生对基本知识、基本题型求解准确熟练.对创新试题型要关注.

第一单元  集合

【考点聚焦】

集合的主要内容包括集合的含义与表示，集合间的基本关系和集合的基本运算.

【经典解析】

考点1：集合间的基本关系以及基本运算

例1.（2015年高考新课标Ⅰ文科）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【思维生长点】本题涉及到集合列举法表示和描述法表示的辨析，同时也涉及到集合运算中的求交运算.

解析：因为A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，…}，B={6，8，12，14}，所以A∩B={8，14}，所以集合A∩B中共有2个元素. 故选D.

【收获与点评】本题难度不大，但是也算是对集合部分知识点的一个综合考查.对于部分考生而言自然数是否包括0，是一个小小的难点，但是本题并没有在此处难为考生，显得比较大气.其实与本题类似，2015年高考北京文科卷也考查了集合的运算：若集合，A={x|-5

考点2：集合创新题型

例2. （2015年高考广东文科）若集合，E={（p，q，r，s）|0≤p

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200

【思维生长点】本题不是传统意义上考查集合运算的题目，而是通过集合形式包装，实质是考查“推理与证明”相关知识.主要考查考生阅读与理解、信息迁移以及考生的学习潜力，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型.而对于给定两个集合中的元素可以理解为四维空间中的点.

解析：当s=4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4=64种;当s=3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3×3×3=27种，当s=2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有2×2×2=8种，当s=1时，p，q，r都取0，有1种，所以card（E）=64+27+8+1=100，当t=0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种，当t=1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t=2时，u取3，4中的一个，有2种，当t=3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1+2+3+4=10种，同理，v、w的取值也有10种，所以card（F）=10×10=100，所以card（E）+card（F）=100+100=200，故选D.

【收获与点评】从知识点来讲，本题是集合的形式，实质为分类与分步计数原理.而通过分类讨论，本题能够顺利得以解决.其实对于计数原理，考生不要有畏难情绪，可以通过分类讨论、数形结合等方法解决这类问题.

例3. （2014年卓越）已知集合A，B满足A∪B={1，2，3，…，8}，A∩B=？覫. 若A中元素的个数不是A中的元素，B中元素的个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为___________.

【思维生长点】本题解决的关键是考生要分清当集合A中只有一个元素时，集合B中有7个元素;而且只要集合A确定了，那么集合B也必然已经确定.所以只需要考虑集合A的情况就可以了.当集合A中只有一个元素时，不是有7种情况，而只有A={7}一种情况.余者类似.

解析：当集合A中只有一个元素时，A={7}，1种情况;当集合A中有两个元素时，A={6}∪C，其中C是集合{1，3，4，5，7，8}的单元素子集，共6种情况;当集合A中有三个元素时，A={5}∪D，其中D是集合{1，2，4，6，7，8}的双元素子集，共=15种情况;当集合A中有五个元素时，A={3}∪E，其中E是集合{1，2，4，6，7，8}的四元素子集，共=15种情况;当集合A中有六个元素时，A={2}∪F，其中F是集合{1，3，4，5，7，8}的五元素子集，共=6种情况;当集合A中有七个元素时，A={1，2，3，4，5，6，8}，1种情况;所以2×（1+6+15）=44.

【收获与点评】本题与例2有类似的地方，以集合为背景，求子集的个数的问题.常用解法有公式法、图表法、组合数公式法等.而且在解决本题时要注意集合A，集合B不能是空集，而且这两个集合中的元素不能是4个（聪明的考生，你知道为什么吗）.

第二单元 函数

【考点聚焦】

不等式的主要内容包括：函数概念、定义域和值域，函数图像与性质，基本初等函数，函数与方程和函数模型的实际应用问题.

考点1：函数概念、函数的定义域值域

例1. （2015年高考新课标Ⅱ理科）设函数f（x）=

1+log2（2-x），x<12x-1，x≥1f（-2）+f（log212）=（ ）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【思维生长点】本题主要考查函数三要素中的对应法则，对广大考生而言不难.但是在本题中，又混合有对数运算，如果指数运算掌握不精的考生，解决本题可能会有困难.

解析：由已知得f（-2）=1+log24=3，又log212>1，所以f（log212）=2=2=6，故f（-2）+f（log212）=9.

【收获与点评】本题中函数解析式是以分段函数的形式给出，高考中，经常通过分段函数来考查函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等，这对考生理解函数性质深度提出了更高要求.下文再详细介绍.

例2. （2015年高考山东理科）已知函数f（x）=ax+b（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b=          .

【思维生长点】指数型函数f（x）=ax+b的单调性与底数a的范围有关，但是考生应该清楚，不论a>1还是0

解析：当a>1时，函数f（x）单调递增，f（-1）=-1，f（0）=0？圯a-1+b=-1，a0+b=0，无解;

当0

所以a+b=-2=-.

【收获与点评】在函数三要素中，函数的定义域问题都比较简单，需要考生能够适当建立不等式，解不等式即可. 而对于值域问题，则比较复杂，应该首先探求函数f（x）在其定义域内的单调情况. 若f（x）是基本初等函数，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用它的图像和性质求解;若f（x）为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域.

例3. （2015年高考福建理科）若函数f（x）=-x+6，x≤23+logax，x>2（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是        .

【思维生长点】本题是通过分段函数包装的函数值域问题，由于含有参数的分段函数的单调性确定起来比较困难，所以本题不能直接通过单调性求解.但是如果考生进一步分析能够发现，当x≤2时，-x+6≥4，那么只需要y=3+logax（x>2）的值域是[4，+∞）的子集即可.

解析：当x≤2时，-x+6≥4，要使得函数f（x）=-x+6，x≤23+logax，x>2（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），只需要y=3+logax（x>2）的值域是[4，+∞）的子集即可.

当a>1时，3+logax>3+loga2（x>2），所以3+loga2≥4，解得1

当02），此时函数f（x）的值域不可能是[4，+∞）.

所以实数a的取值范围是（1，2].

【收获与点评】如果考生审题时不能意识到当x≤2时，-x+6≥4，那么本题操作起来难度加大.所以提醒各位考生，审题要细心.

考点2：函数图像与性质

例4. （2015年高考安徽文科）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点，则a的值为         .

【思维生长点】函数的图像是函数关系的一种表示，它从“形”的方面显示了函数的性质，刻画了函数的变化规律.而对于本题，则需要考生能够主动画出函数图像，通过图像观察可得结论.

解析：在坐标系内，作出y=2a与y=|x-a|-1的大致图像，如下图：由题意，可知2a=-1？圯a=-.

【收获与点评】本题在画函数y=|x-a|-1的图像的时候，可以有两种处理方案.一种是将绝对值简单理解为分段函数，也就是说y=|x-a|-1=x-a-1，x≥a-x+a-1. x

例5. （2015年高考陕西文科）设f（x）=x-sin x，则f（x）=

（ ）

A. 既是奇函数又是减函数    B. 既是奇函数又是增函数

C. 是有零点的减函数           D. 是没有零点的奇函数

【思维生长点】本题考查函数的奇偶性和单调性的知识点，对于函数的奇偶性考生应该注意其大前提是定义域要关于坐标原点对称.而对于单调性，可以通过定义法去判断也可以通过求导的方法去判断.

解析：f（x）=x-sinx？圯f（-x）=（-x）-sin（-x）=-x+sinx=-（x-sinx）=-f（x）又f（x）的定义域为R是关于原点对称，所以f（x）是奇函数.

f ′（x）=1-cosx≥0？圯f（x）是增函数.

【收获与点评】判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但要保证定义域不变，再利用定义判定;用图像判定也是常用的方法.

单调性是函数学习中非常重要的内容，一般用求导的方法解决，对于选择题和空题，也可用一些命题来解决，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数.解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决.

例6. （2015年高考福建文科）若函数f（x）=2|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值等于_______.

【思维生长点】f（1+x）=f（1-x），刻画的是函数f（x）的对称性;与此类似f（x+1）=f（x-1），则刻画的是函数f（x）的周期性.本题中，应该根据对称轴，求得参数a的值.进而可以求得实数m的取值范围.

解析：由f（1+x）=f（1-x）得函数f（x）关于x=1对称，故a=1，则f（x）=2|x-1|，由复合函数单调性得f（x）在[1，+∞）递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1.

【收获与点评】考生需要掌握函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用.同时考生需要学会运用函数图像研究函数的性质，感受应用函数图像处理函数的单调性、奇偶性、周期性解决问题的优越性，提高观察、分析、推理、创新的能力.

考点3：基本初等函数

例7. （2015年高考安徽文科）lg+2lg2-（）-1=          .

【思维生长点】处理本题既可以lg+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=1，也可以如下处理lg+2lg2=lg+lg4=lg10=1.

解析：原式=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=1-2=-1.

【收获与点评】纵观近几年高考文理试题，其实直接考查指数幂、对数运算的试题并不常见.但是今年安徽文科此题，也在给各位考生提醒，指、对、幂的运算是研究指数函数、对数函数、幂函数性质的基础，需重视.

例8. （2015年高考天津理科）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）

A. a

【思维生长点】根据偶函数性质，求得m=0，所以f（x）=2|x|-1. 如此一来，函数f（x）=2|x|-1的性质就非常重要了，所以需要画出函数图像，进而研究性质.而对于函数f（x）=2|x|-1的图像，既可以由f（x）=2|x|-1=2x-1，x≥02-x-1，x<0画出，也可以通过平移得到.

解析：因为函数f（x）=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f（x）=2|x|-1=，所以：

a=f（log0.53）=f（log2）=2-1=2-1=3-1=2，

b=f（log25）=2-1=4，

c=f（2m）=f（0）=20-1=0.

所以c

【收获与点评】从近几年的高考形势来看，指数函数、对数函数的试题大多以基本性质为依托，结合运算推理，考查利用单调性比较数的大小;解简单的指数不等式;考查复合指数式的最值或参数的取值范围等.

考点4：函数与方程

例9. （2015年高考湖南理科）已知f（x）=x3，x≤ax2，x>a若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是

.

【思维生长点】函数的零点，方程的根以及函数图像交点之间有着密切的联系.本题中就需要将函数零点转化为方程的根.但是本题需要分清是“两个方程各有一个根”还是“一个方程无根，一个方程有两个根”——但是方程x3=b（x≤a）不会有两个根，所以只能是方程x2=b（x>a）有2个根.

解析：由题意可知，问题等价于方程x3=b（x≤a）与方程x2=b（x>a）的根的个数和为2. 若两个方程各有一个根，则可知关于b的不等式组b≤a，>a，-≤a有解，从而a>1;若方程x3=b（x≤a）无解，方程x2=b（x>a）有2个根，则可知关于b的不等式组b>a，->a有解，从而a<0，所以实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）.

【收获与点评】函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点.从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用.

考点5：函数模型的实际应用问题

例10. （2015年高考北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）

A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【思维生长点】本题需要考生能够深刻的体会“燃油效率”的概念，之后通过排除法可以得出正确答案.

解析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图像最高点的纵坐标值，A错误;B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误;C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误;D中某城市机动车最高限速80千米/小时，由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.

【收获与点评】出于 “立意” 和创设情景的需要，高考函数应用问题设置的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了探索题、开放题和信息题的考查力度，主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象，因而使高考考题显得新颖、生动和灵活.

第三单元 不等式

【考点聚焦】

不等式的主要内容包括不等关系与一元二次不等式解法，二元一次不等式组与简单线性规划问题，基本不等式≤（a，b≥0）.

【经典解析】

考点1：不等式解法

例1. （2015年高考广东文科）不等式-x2-3x+4 > 0的解集为            .（用区间表示）

【思维生长点】解一元二次不等式是对考生的基本要求.而本题在解题时需要注意二次项系数为负，所以大于零的解集应该取中间.

解析：由-x2-3x+4<0，得-40的解集为（-4，1），所以原不等式解集为（-4，1）.

【收获与点评】解一元二次不等式时，首先要将二次项系数调整为正，之后求对应一元二次方程的根，最后大于取两边小于取中间.与本题类似，2015年高考江苏卷：不等式<4的解集为______.本题其实也就是利用指数函数单调性，化指数不等式为一元二次不等式，进而解得-1

例2. （2015年高考新课标Ⅱ文科）设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范围是（ ）

A. （，1）  B. （-∞，）∪（1，+∞）

C. （-，） D. （-∞，-）∪（，+∞）

【思维生长点】解决本题一定要首先分析好f（x）是偶函数，且在[0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，进而转化为绝对值不等式. 而不能莽撞的直接代入，如果直接代入，本题则会困难异常.

解析：由f（x）=ln（1+|x|）-可知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）是增函数，所以f（x）>f（2x-1）？圳f（|x|）>f（|2x-1|）？圳|x|>|2x-1|？圳

【收获与点评】对于本题中的绝对值不等式，常规的解法是通过分类去掉绝对值符号，此外也还可以通过几何意义或者平方处理.

考点2：简单线性规划问题

例3. （2015年高考新课标Ⅰ理科）若x，y满足约束条件x-1≥0，x-y≤0，x+y-4≤0，则的最大值为        .

【思维生长点】本题考查用平面区域表示二元一次不等式组和简单的线性规划问题.求目标函数的最大值问题是本题的亮点，也是突破口.应该注意到的几何意义为平面区域内任意一点（x，y）与坐标原点连线的斜率.

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1，3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

【收获与点评】本题的目标函数是，其几何意义为斜率;其实目标函数还可以有其他一些常见的表达形式，比如z=x+y，z=x2+y2，对应的几何意义分别为截距，两点间距离的平方.

考点3：基本不等式

例4. （2015年高考福建文科）若直线+=1（a>0，b>0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【思维生长点】直线过定点，则点的坐标必然满足直线方程，从而可得+=1，进一步求a+b的最小值时，推荐1字代换的方法.

解析：由已知可得+=1，则a+b=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=b=2时，等号成立.

【收获与点评】本题除了上面的解法以外，还可以代入消元解决.由+=1，知b=，从而a+b=a+=a+=2+（a-1）+，进而可得结论.

例5. （2015年高考陕西理科）设f（x）=lnx，0

A. q=r

p C. p=rq

【思维生长点】顺利解决本题，要熟悉对数函数单调性，同时也要掌握对数运算性质，最后，还要能利用基本不等式比较大小.本题中，基本不等式部分的内容不难，仅仅需要了解≥即可.

解析：p=f（）=ln，q=f（）=ln，

r=（f（a）+f（b））==ln，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上单调递增，因为b>a>0，所以>，所以f（）>f（）. 故选C.

【收获与点评】对于利用函数性质比较大小的问题，也有这样一道经典的题目：若a>b>1，P=，Q=（lna+lnb），R=ln（），则R=ln（）>ln=（lna+lnb）=Q>=P.

（作者单位：北京市第十二中学）

责任编校   徐国坚