辨析互斥事件与对立事件

万青

日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的随机事件，事件与事件的关系是研究概率的基础，而互斥事件与对立事件是事件的关系中两个易混淆的概念，同学们在学习过程中一定要正确理解. 这样才能夯实基础，有条理地思考，从而准确地分析问题，解决问题.

互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生. 从集合的角度看：几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，而事件A的对应事件[A]包含的结果组成的集合，是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集. 下面通过实例对这两个概念进行辨析：

例1  在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件：

C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};

C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};

D1={出现的点数不大于1};D2={出现的点数大于6};D3={出现的点数小于5};

E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};

H={出现点数为奇数}…

（1）判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由.

①事件C1与事件C2

②事件C1与事件D3

③事件E与事件F

分析  判断两个事件是否为互斥事件就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生则是互斥事件，反之就不是互斥事件.

解  ①是互斥事件. 因为掷一枚骰子每次只能出现一个数，出现1点就不可能同时出现2点，所以是一对互斥事件.

②不可能是互斥事件. 因为“出现的点数小于5”包含“出现1点”，所以事件C1与事件D3可同时发生.

③是互斥事件. 因为事件E为必然事件，它一定会发生的，而事件F为不可能事件，它一定不会发生的，即二者不可能同时发生，用集合的观点分析：事件E为全集，事件F为空集，二者的交集是空集，即不可能同时发生.

点拨  互斥事件是概率知识中的重要概念，可以从两个方面来说明：用定义看是否同时发生;类比集合的运算，看交集是否为空集，若为空集，则两事件是互斥的.如果事件A1，A2…An中的任何两个都是互斥事件，则称事件A1，A2…An彼此互斥，如题目中的C1，C2…C6是彼此互斥的，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集为空集.

（2）判断下列各对事件是否构成对立事件？

①事件G与事件H ②事件E与事件F

分析  判断两事件是否构成对立事件，关键看两事件所含结果组成的集合是否互为补集，若是互为补集则两事件是对立事件.

解  ①因为骰子的出现的点数不是奇数就是偶数，“出现的点数为偶数”所组成的集合的补集就是“出现的点数为奇数”所组成的集合.所以事件G与事件H构成对立事件.

②因为在集合中，全集的补集为空集.事件E所含结果构成的集合是全集，而事件F所含结果构成的集合是空集，所以二者也是对立事件.

点拨  对立事件是概率中又一个重要概念，要正确理解，就要清楚对立事件是对两个事件而言的，这两个事件中必须有一个发生而另一个不发生. 从集合角度看，由事件A所含结果组成的集合，是全集中事件A所含结果组成的集合的补集.

（3）判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

①事件F与事件G ②事件G与事件H

解  ①是互斥事件，不是对立事件.因为事件F是不可能事件，它与事件G不可能同时发生，所以二者是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生这是由于骰子还可能出现的点数为奇数，因此，二者不是对立事件.

②既是互斥事件，又是对立事件. 因为骰子出现的点数不是奇数就是偶数，只能出现一个数，所以这两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生.

点拨  互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是在互斥事件基础上，其中必有一个发生的互斥事件，即对立事件是特殊的互斥事件. 因此对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说互斥事件是对立事件的必要但不充分条件.

例2  某射手射击一次，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.12，0.32，0.27，0.11. 若这名射手射击一次，求：

（1）射中9环或8环的概率;

（2）至少射中7环的概率.

解 设射手射击一次射中10环，9环，8环，7环分别记为事件A，B，C，D.它们是彼此互斥的，其概率分别为P（A）=0.12，P（B）=0.32，P（C）=0.27，P（D）=0.11.

（1）射中9环或8环为事件B∪C，

则P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.32+0.27=0.59.

故射中9环或8环的概率为0.59.

（2）至少射中7环为事件A∪B∪C∪D，

则P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.82.

故至少射中7环的概率为0.82.

点拨  本题是概率计算题中的典型题型，需要辨清事件之间的关系，从而选择正确的概率计算公式.

例3  甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率.

分析  记甲胜为事件A，乙胜为事件B，和棋为事件C，故事件A，B，C彼此互斥，乙不输为事件B∪C.

解法一  甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥的. 其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“和棋”的并集，从而可以求出乙胜的概率，并可以求出甲胜的概率.

P（B）=P（B∪C）-P（C），

又根据题意有P（B∪C）=0.7，P（C）=0.5，

故P（B）=0.7-0.5=0.2，P（A）=1-P（B∪C）=1-0.7=0.3.

所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.

解法二  乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率.

乙不输与甲获胜是对立事件，故P（A）=1-0.7=0.3，又结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，且彼此互斥. 故P（B）=1-P（A）-P（C）=1-0.3-0.5=0.2，所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.

总结  解答此类问题的关键，在于判断两事件是互斥事件还是对立事件，也就是牢记“在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生”. 只要我们正确理解了二者的概念，抓住了本质，再根据已经判断出的情况，开展后续计算求解，那么这类问题也就迎刃而解了.

[练习]

1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（   ）

A.至多一次中靶 B.两次都中靶

C.只有一次中靶 D.两次都不中靶

2.若P（AUB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（   ）

A.互斥不对立 B.对立不互斥

C.互斥且对立 D.以上答案都不对

3.从扑克牌40张（红、黑、方、梅点数从1到10各10张）中，任取一张.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”;

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;

（3）“抽出的牌点数为5的位数”与“抽的牌点数大于9”.

[参考答案]

1.D  2.D

3.（1）是互斥事件，不是对立事件;

（2）既是互斥事件，又是对立事件;

（3）不是互斥事件，更不可能是对立事件.