排列组合中的分堆与分配问题

陈学帅

摘要：介绍了排列、组合中比较困难的分堆与分配问题的解决方法。从分给的对象和被分的元素是否相同（即有无差别）两个方面分别进行了研究。分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同是分堆问题，当各堆的元素数不同时是非平均分堆，一堆一堆的拿开即可；当各堆（或部分堆）的元素数相同时是平均分堆，按堆拿开后，若有k堆元素数相等，再除以；分给的对象不同（即有差别）是分配问题，给不同的对象逐次拿开或先分堆再分配。

关键词：排列组合分堆分配解决方法

排列、组合中的分堆与分配问题是近几年高考中的一个热点问题，同时也是学生学习中的一个难点，本文就从被分的元素和分给的对象两端这两个方面来探讨一下此类问题的解决方法。

在将某些元素进行分配的问题中，我们按分给的对象是否相同（即有无差别）分为分堆问题与分配问题。

一、分堆问题

分堆是研究将元素所分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同的一类问题。当各堆（或部分堆）分得的元素数相同时，称为平均分堆；当每堆分得的元素数各不相同时，称为非平均分堆。

1.非平均分堆

例：将6名运动员分成三组，其中有一组1人的，一组2人的，一组3人的，有多少种不同的分法？

解：本题中由于分给的对象无差别，并且每组的人数各不相同，所以这是一个非平均分堆问题，按题设要求逐堆随机拿开即可。

二、分配问题

将元素所分给的对象不相同（即有差别）时的问题叫做分配问题。分配问题按被分的元素是否相同又分为被分的元素相同（无差别）的分配问题与被分的元素不相同（即有差別）的分配问题两类：

（一）被分的元素相同（无差别）的分配问题

此类分配问题中，由于被分的元素无差别，因此在分配中，若将若干个元素平均分给几个对象，则只有一种分法；若几个对象所得元素数各不相同，则存在不同的分法。

例2．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每个班至少出1人，共有多少种不同的选法？

分析：本例其实就是将10个参加数学竞赛的名额分给7个班的分配问题，被分的名额是无差别的，但分给的对象即7个班是不同的。 注：1.插板法与插入法不同，要注意区分。深刻理解插板法的思想，能快速、简捷的处理一部分题目。

2.插板法只适用于每个分给的对象至少分得一个无差别元素的分配问题，如果无此条件则此方法不再适用。

（二）被分的元素不相同（即有差别）的分配问题

1.平均分配

注：在被分的元素不相同（即有差别）的非平均分配问题中，当分给的对象所分得的元素数没有明确时，要运用先分堆再分配的方法。