例谈平面法向量的应用

黄振东

【摘要】立體几何是历年来高考的必考题型之一，然而引入空间向量后，几何已经趋于代数化，它把数形结合的数学思想发挥得淋漓尽致。本文作者借助几个教学案例，谈谈平面法向量在解这类问题的方法，试图用代数方法，去除繁杂的辅助线，探索出简洁、容易入手的解题方法。

【关键词】空间直角坐标系 平面法向量 距离 夹角

几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的需要。大家知道，使用“形到形”的综合推理方法学习立体几何，对多数学生都是比较困难的，通过使用向量方法学习立体几何，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。这样做不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具反而会降低学习的难度，减轻学生的负担。因此在高中引进向量的代数方法是比较自然的，也是必要的。下面是我在教学中一些体验，就是平面法向量在解决空间点、线、面的夹角和距离的应用。

一、在空间中求点到平面的距离

例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离。 z

分析：求点到平面的距离常见的有三种方法：一是 D1 C1

作出垂线段；二是用等积法；三是用向量的方法： F

设AP是平面α的一条斜线段，n是平面α的一 A1 B1 E

个法向量，则AP在n上射影的长就是点A到平 D C y

面α的距离（P为斜足），本题用向量法可谓直接

了当。 A G B

解： 如图（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系 x （1）

D-xyz 。由正方体棱长为2知A（2，0，0）G（2，1，1）E（0，2，1）

F（1，0，2）则

设n=（x，y，z）是平面EFG的一个法向量，则

，

1. 求异面直线的距离

例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2若M、N分别为DC，BB1中点，求异面直线MN与A1B间的距离。

分析：将MN与A1B的距离转化为

的公共法向量上的射影长，勿须找公垂线段，

方法令人耳目一新。 （2）

解：如图（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz

因为M，N为CD，BB1中点

所以M（3，2，0），N（0，4，1）

2. 求线面夹角问题

例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= ，AA1=1，AD= ，E、F分别是AB，C1D1的中点，求直线A1B1与平面A1EF所成的角。

分析：本题可转化为求向量 与面A1EF的

法向量所成的角再求其余角，而不必找线

面夹角的位置，可省去多条辅助线，

方法浅显易懂。

解：如图（3）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-XYZ

1. 求二面角

例：正三棱锥ABC-A1B1C1中，底面边长为a，在BB1上截取BD=a，在CC1上截取CE=a，求截面ADE和底面ABC所成角的大小。

分析：本题可转化为求平面ADE与平

面ABC两法向量的夹角（同时应判别该二面角

是钝角或锐角，若夹角为0或 时，

平面ADE//平面ABC ），方法避免了寻找二

面角的平面角的繁杂过程，可谓简洁方便。

（4）

解：如图（4）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，

以上是笔者对平面法向量在立体几何中的几点应用的看法，当然平面法向量的功能是强大的，在解决许多具体问题中发挥的很大的作用，希望读者能提出更多好建议。勿庸置疑，向量法解立体几何问题，并不是完美无缺，有时会发现它是一个较啰嗦的东西，对学生的空间想象能力是有碍的。因此我们在教学过程中对解题方法应权衡利弊，舍远求近，去繁求简，开阔学生的解题思路，增强学生解决实际问题的能力。

【参考文献】：

[1]中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003

[2]施良方等.课堂教学的原理 策略与研究.华东师范大学出版社 1999

[3]李建明.从新旧教材例（习）题的变化感悟课程理念 《中学数学教与学》2008.5

[4]中学数学课程教材研究开发中心 《数学1必修》《数学2必修》《数学3必修》（A版）人民教育出版社