积分第一中值定理的改进

李敏　张威

【摘要】本文给出积分第一中值定理的两个新的证明方法，并改进积分第一中值定理中ξ属于闭区间[a，b]结论，得到至少存在一点ξ∈（a，b）使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

【关键词】变上限函数； 拉格朗日中值定理； 积分第一中值定理

1.引言、定义与引理

积分第一中值定理是一元函数积分学中的重要定理之一. 本文应用变上限函数、拉格朗日中值定理和反证法给出积分第一中值定理的两个新的证明方法，在这两个证明方法中，对于定理的条件不做任何改动，但是在定理的结论上对原定理做出了改进，得到至少存在一点ξ∈（a，b）使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

定义[1] 设函数f（x）在闭区间[a，b]上可积，记函数F（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]，并称其为变上限函数.

引理[1]（积分第一中值定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a，b]，使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

2.主要结论与证明

定理1 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

证法一 应用变上函数、拉格朗日中值定理证明定理.

证 变上限函数F（x）=∫xaf（t）dt在闭区间[a，b]上可导，从而函数F（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此，至少存在一点ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=F（b）-F（a）b-a.

再根据微积分学基本定理和牛顿—莱布尼茨公式，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（ξ）=F′（ξ）=1b-a∫baf（x）dx，

即

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

证法二 应用反证法证明定理.

证 假设任意t∈（a，b）都使得

f（t）≠1b-a∫baf（x）dx=A.

则必成立下列三种情况之一：

情况（1）：

若f（t）>1b-a∫baf（x）dx=A，t∈（a，b），

则有不等式

∫baf（t）dt>∫baAdt=A（b-a）=∫baf（x）dx，

显然上述不等式矛盾.

情况（2）：

若f（t）<1b-a∫baf（x）dx=A，t∈（a，b），

则有不等式

∫baf（t）dt<∫baAdt=A（b-a）=∫baf（x）dx，

顯然上述不等式矛盾.

情况（3） 若存在t1，t2∈（a，b）（不妨设t1

f（t1）<1b-a∫baf（x）dx

因为f（x）在闭区间[a，b]上连续，自然在[t1，t2]上连续，于是根据连续函数介值性定理至少存在一点ξ∈t1，t2（a，b），使得

f（ξ）=1b-a∫baf（x）dx，

这与假设矛盾.

综上所述至少存在一点ξ∈（a，b），使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

结论证毕.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 北京： 高等教育出版社，2001.

[2]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京： 高等教育出版社，1996.