关于积分符号中因子关系的讨论

王亚红　段世英

【摘要】数学是一门严谨的科学，其严谨很大程度上依赖于数学符号.数学问题转化为数学符号描述，使问题趋于简洁易懂.在大学数学的研究和学习中，数学符号大量出现，如果对数学符号理解不够深入，会导致一些错误的出现.本文针对积分符号中被积函数f（x）与dx之间是否是一些教师所理解的因子关系进行分析和研究.

【关键词】数学符号；积分符号；因子关系

一、积分符号的创立及作用

1675年，莱布尼兹在手稿中首次用“omn”表示求和，从而出现了第一组符号化微积分表达式：omn·1=y，omn·y1=omn·omn1·1[]a，接着莱布尼兹用∫取替“omn”并在研究微积分的过程中提出许多新符号，如微分符号dx，d2x，d3x，……微商符号dy[]dx等.莱布尼兹坚信好的符号可以节省思维过程，使思路和书写更加美观、有效.并且这些符号具有“反映事物内在本质，减轻想象的任务”等特点，所以在18世纪英国人因优越感而拒绝使用莱布尼兹的符号时，已经采用莱布尼兹微积分符号的欧洲大陆数学水平飞速提高.

二、关于积分符号的讨论

（一）不定积分定义中的积分符号

结合同济大学第六版《高等数学》关于原函数和不定积分的定义，有：

如果dF（x）[]dx=f（x），则f（x）在区间I的不定积分∫f（x）dx=F（x）+C（1）

这里dx只是在强调x是积分变量，没有因子意义.仅由定义可得到不定积分性质：d∫f（x）dx[]dx=f（x），∫f′（x）dx=f（x）+C.由此二式，有d∫f（x）dx=f（x）dx.注意这个式子左边dx没有因子意义，右边dx是因子意义.同时还有∫df（x）=f（x）+C，当然df（x）也没有因子意義的.此外有

∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C（2）

这里dφ（x）也不是因子意义，在强调φ（x）是积分变量.那么∫f（φ（x））φ′（x）dx=？即问f（φ（x））φ′（x）的原函数是什么呢？因为

F（φ（x））′x=F′（φ（x））φ′（x）=f（φ（x））φ′（x）说明F（φ（x））就是f（φ（x））φ′（x）的一个原函数.即

∫f（φ（x））φ′（x）dx=F（φ（x））+C（3）

比较（2）（3）式，得到一个有意义确实成立的等式：

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）（4）

这里dφ（x），dx都不是因子意义.这就是不定积分的第一换元法（凑微分法）.对（4）式，若视“符号”dφ（x）是函数的微分，那么可以按微分理解：

φ′（x）dx=dφ（x）（5）

大家都知道（5）式是一个微分.但当从（4）这样的推理下给出，那可就是一个“形式相等的意义”.数学公式本来就是要得到一个容易理解、接受的式子.所以在不定积分运算中，当我们把上述不是因子的符号都理解为因子，那么一切都变得是我们熟悉的了！

如果当初不定积分记为∫xf（x）=F（x）+C，那么相应的（4）式得记为

∫xf（φ（x））φ′（x）=∫φ（x）f（φ（x）），这实在是眼花缭乱！

一旦人们这样的“形式理解”不定积分的符号，计算时就容易了.第二换元法、分部积分都是在这样的理解下完成的.

（二）定积分定义中的积分符号

定积分、不定积分符号只有“点滴”差别，但却是不同的两个概念.

定积分这样说：设f（x）在[a，b]上有界，对[a，b]的任意分划Δ，如果极限limλ→0∑n[]i=1f（ξi）Δxi存在，称该极限为定积分，记∫baf（x）dx.（6）

这里的dx只是在强调x是积分变量，没有因子意义.虽然有

∫baf（x）dx≈∑n[]i=1f（ξi）Δxi（7）

近似是一个相对的词，如果由Δxi是因子就说dx是因子那肯定是不对的.大家都知道，符号∫是英文sum的首字母拉长，有求和的意思（定积分意义的确是不均匀求和），那和dx是否是因子也没关系.

定积分换元法中要求f（u）连续u=φ（x）有连续的导数，才保证了∫baf（x）φ′（x）dx，∫BAf（u）du的存在.从而两个被积函数有相同的原函数，所以

∫baf（x）φ′（x）dx=∫BAf（u）du形式写为

∫baf（φ（x））dφ（x）（8）

这就是定积分的换元法.（8）中第三项只是第二项的形式记号，更不会谈dφ（x）是否是因子了，莱布尼兹积分号真是妙不可言！

【参考文献】

[1]托和勒理.数学符号系统的形成与认识功能[J].东北师范大学学报自然科学版，1995（2）.

[2]肖为胜.关于积分符号的注记[J].大学数学，2009，25（3）.