对偶思想及其在初等数学中的指导作用

梁俊飞　梁雪

【摘要】 本文通过对高等几何中的对偶原则的分析探究，提炼了对偶思想的概念，然后讨论了对偶思想对学科的发展、解题以及对教师教学的指导作用.

【关键词】初等数学；对偶思想；对偶元素

【中图分类】O18；G642.0

在现代数学教学中，人们越来越重视数学思想的教学渗透，数学思想方法作为数学素质教育的内容已引起教育界的普遍关注和高度重视，它是联系知识与能力的纽带，对发展学生的数学能力，提高思维水平都具有十分重要的作用.本文将研究一种极具美感的一种数学思想，对偶思想.

1.对偶思想概述

我们将从高等几何中的对偶原则出发，逐步阐述对偶思想的内涵.

点与直线是射影平面上的基本元素，它们是射影平面中的一对对偶元素.在射影平面里设由点、直线及其相互结合的顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，其结果形成另一个命题，这两个命题叫作平面对偶命题.在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立，这就是高等几何中的对偶原则.例如：

命题A：通过不同两点必有一直线.

命题B：两不同直线必有一交点.

命题A与命题B是一对对偶命题，命题A成立，由对偶原则，在射影平面里，命题B也成立.注意，对偶原则仅在射影平面上成立，原因在于点和直线在射影平面上是对等的，地位是平等的，是一对对偶元素，可以彼此互换.而在欧氏平面中，点与直线的地位不对等，不能构成一对对偶元素，于是在欧氏平面中，命题A成立，但命题B并不成立，对偶原则失效.

高等几何里的对偶原则其实是对偶思想在具体学科中的体现.可以看出，一个对偶问题，首先要有对偶元素，要成为对偶元素，需要这两个元素的地位平等、可以互换，要有相似的性质；其次，他们具有内在的联系.在解决数学问题中，当原问题难以得到解决或者解决方法很复杂时，我们可以考虑利用已知条件中元素的对偶元素来构造一个与之地位、作用、功能、性质等完全相同或相似，彼此之间存在内在的关联的对偶式或直接利用对偶元素的等价性质来解决问题的思想方法，称为对偶思想.

通过对中学数学中对偶思想方法的研究，我们发现对偶思想在对学科的发展、解题、教师教学三个方面均有重要指导作用.

2.对偶思想对学科发展的促进作用

解析几何把代数方程和曲线曲面等联系了起来，这一创造是数学中最丰富最有效的设想之一.在很长的一段时间里，几何与代数是各自发展的，互相分离或只有局部的联系，就连伟大的数学家牛顿也坚持要区别数的运算和希腊人对于几何物体的运算.直到费马和笛卡尔时代来临的时候，他们希望把几何与代数结合起来，让它们之间可以相互转换，也就是要让它们成为我们所说的对偶元素，这时才真正的将几何与代数实质性结合起来，促进了双方的共同发展.

再举一例——牛顿和莱布尼兹创立的微积分学.在微积分创立之前，其实已经有很多数学家研究过已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度问题（微分问题），已知物体的速度求物体位移的问题（积分问题），也取得了很大的进展，但当时的数学家们只是把它们当成是两个不同的问题在研究，没有发现它们之间的内在联系.牛顿和莱布尼兹对微积分的主要贡献就是发现微分与积分其实是一对对偶元素，它们其实是可以相互转换的，这个发现促使了微积分的创立.如今的中学已经开始学习一些初级的微积分了，如果教师从对偶的观点、统一的观点来讲授微积分，而不是仅仅让同学们死记一些公式可能会对学生掌握微积分思想产生更好的效果.

3.对偶思想对解题的指导作用

在解题中，我们可以利用对偶元素构造对偶式，再利用对偶元素之间的内在联系、两个对偶式之间的协同作用，使得问题得到快速、巧妙的解答；或者利用对偶元素之间内在等价性质，使得原问题转换为其对偶问题，从而使问题变得更容易解決.

4.对偶思想对中小学教师教学的指导作用

导入是我们的教学过程中一个很重要的步骤，很多时候教师会感觉导入很难设计，有了对偶思想的指导，我们经常可以通过对偶元素来引入新课.在讲课过程中，无论是新课还是习题课，适时地提及对偶，可以使学生发现数学知识之间不是孤立的，而是相互联系的，知识之间存在着这样的一种内在的和谐.这样不仅可以让学生更好地掌握知识，还可以系统化所学知识，有利于日后的知识提取.进一步，还可以利用对偶思想培养学生的创造性思维.

数学是研究自然的科学，自然的和谐决定了数学的和谐，而数学的和谐也反过来印证了自然的和谐，对偶思想正揭示了这种和谐.本文通过对对偶思想的研究，认识到对偶思想不仅能够指导解题，更能够使得数学学习系统化.在教师的引导下，让学生在中小学时代就接触这种并不难理解，但却充满了美与和谐，且十分重要的对偶思想，对学生以后更好更深刻地认识数学是具有极其重要的意义的.

【参考文献】

[1]李恩凤.对偶原则与配极对应教学探讨[J].青海师专学报（自然科学），1998（4）：44-45.

[2]王淼生.领悟教材原意 感悟对偶思想[J].中学数学研究，2012（9）：9-11.

[3]M.克莱因.古今数学思想（第二册）[M].上海：上海科学技术出版社，1982.