关于对数求导法的两点注记

梁素梅

【摘要】本文通过对数求导法的讲解，提出了许多老师和学生在利用对数求导时，容易忽略的两个问题，找出了问题产生的根源，给出了相应的两点注记，可给学生利用对数求导法时带来极大的方便.

【关键词】对数求导；幂指函数；复杂函数

一、对数求导法的适用对象

在《高等数学教程》导数教学一章中，我们发现有些题目它并不能用公式直接求导，而是需要应用对数求导法才可以求出其导数.在此，先介绍一下对数求导法的适用对象.对于特殊类型函数y=u（x）v（x） （它既不是指数函数，又不是幂函数，称为幂指函数）或若干个因子通过乘、除、乘方和开方所构成的比较复杂的函数.通常采用取对数化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，变成隐函数，然后按隐函数求导法则求函数的导数，此方法称为对数求导法.因此上述两类函数就是其适用对象.

二、对数求导方法

对数求导法有如下两个步骤：

第一步：将适用的函数两边取对数（并通过对数函数的性质将其化简为简单式子，乘、除变加、减，乘方变倍数）.

第二步：利用隐函数求导法继续对其求导.

三、实例解析

例1 y=x1-x1+x.

解 此题属于若干个因子通过乘、除、乘方和开方所构成的比较复杂的函数采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得lny=ln|x|+12ln1-x-12ln1+x .

2.上式两边关于x求导得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x） ，

即y′=y1x-11-x2=x1-x1+x1x-11-x2.

例2 y=xsinx.

解 此题属于典型的幂指函数（幂在变，指数也在变），采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得lny=sinxlnx.

2.两边关于x求导得：1yy′=cosxlnx+sinxx.

所以y′=y（cosxlnx+sinxx）=xsinxcosxlnx+sinxx

从以上两个例子可以看出，利用对数求导法求这两类函数的导数时，确实非常的简单、方便.同时，我们大家也不难发现做题中涉及如下两个方面：1.对数函数的真数需是正数，所以两边的对数函数的真数需加上绝对值.2.两边的函数需取对数.在平时的教学中，也经常有学生提出如下问题：1.取对数时能不能把绝对值符号去掉？2.能不能取其他正数为底的对数函数？

针对这两个问题，经过思考后，给出解答：

解答1：因为（ln|x|）′=1x，x>0-1-x，x<0=1x 和（lnx）′=1x，求导后的结果是一样的，为避免出错，取对数时是可以把绝对值符号去掉，简化计算流程.

解答2：如果取以a为底的loga 的对数，而不是自然对数，以例2为题，则有logay=sinxlogax，1y1lnay′=cosxlogax+sinxx1lna，y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）.所以是可以取其他正数为底的对数函数的，但是取自然对数没有多余的1lna的出现，简化了计算流程.建议取自然对数，方便做题.

并且，再从这两个解答对两个实例进行分析.

例3 y=x1-x1+x.

解 此题属于若干个因子通过乘、除、乘方和开方所构成的比较复杂的函数采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得lny=lnx+12ln（1-x）-12ln（1+x）.

2.上式两边关于x求导得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x）

即y′=y（1x-11-x2）=x1-x1+x（1x-11-x2）.

例4 y=xsinx.

解 此題属于典型的幂指函数（幂在变，指数也在变），采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得logay=sinxlogax.

2.两边关于x求导，得1y1lnay′=cosxlogax+sinxx 1lna，

所以y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）

同时，从这两个解题中，我们总结成如下两个注记：

注记1：对数求导法中，可不加绝对值符号.

注记2：对数求导法中，取自然对数较简单.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）上册[M].北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）上册[M].北京：高等教育出版社，2001：98-100.

[3]刘广军，杨春华，耿玉霞.高等数学教程 [M].长春：吉林大学出版社，2010：42-43.