让“抽象代数”生动起来

万吉湘

【摘要】用教学中的实践案例阐述选用直观有效的例子让学生变抽象为具体的技巧.主要途径有多举例子，举身边的例子，举学科前沿的例子，用例子解释定义和定理，把定理回归应用到例子，旨在化难为易，激发学生兴趣.

【关键词】抽象代数；案例；生动

“近世代数”是研究代数系统的一门学科，所谓代数系统就是带有运算的集合，群、环、域就是三种带有运算的集合，它们是把集合中运算共同点抽象出来做成不同的代数体系，从这点上看，“近世代数”是研究本质规律的一门学科.“近世代数”又名“抽象代数”，以其抽象性让学生望而生畏.近年来，国内众多学者和教育工作者在该学科教学方面的研究在不断探索和完善中.当代数学家冯克勤这样说：“一个好的教员要能讲出数学中的‘道理和‘意思，还数学以生动活泼的本来面目，才会消除学生由于抄黑板、背定理和做机械重复性习题而产生对数学不应有的厌烦情绪.”由此可以引发思考，对于“抽象代数”，要让学生看到它的可爱和生动，对症下药的方法就是，从案例出发，提炼出定理结论，再用案例来加深认识，变抽象为具体，尽可能地让学生对概念、理论有比较直观而又清晰的认识和理解.

1.多举例子

例1 群、环、域是“近世代数”里中心的三大代数系统，作为學生们第一个接触的代数系统，群也是构成环的先决条件，群的定义的掌握至关重要.在实际教学中，让学生记忆背诵群的定义，既生硬，效果也不太好，重点应放在让学生了解对象是一个非空集合，上面有一个代数运算，该运算满足封闭、结合律、左单位元存在、每个元有左逆元这四个条件.在这个前提下，举出一系列集合和相应运算，让学生自己判断，这样反复判断中，学生在自然记忆群的定义的同时，获得了大量的群，为今后的学习提供了实际例子.在例题选择方面，可考虑数字群，如自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C，代数运算可以选择普通的数的加、减、乘、除，如果是群，验证，不是群，说出理由.第二类可以举矩阵构成的集合，分析对矩阵的加、减、乘运算是否构成群，另外还可以取对象是多项式的集合，对多项式的加、减、乘运算是否做成群，这里面有的做成群，有的不作成群，同时学生还能认识到同一个集合，不同的运算会做成不一样的群.

2.举身边的例子

生活中处处皆数学，选择贴近生活的数学例题，让学生感觉数学就在身边，从而加深对知识的认识和理解，如回顾映射定义时我们可以引入这样的例子.

例2 判断以下集合对对应法则是否做成映射.

设A是绵阳师范学院毕业的所有大学生组成的集合，B是学校设立过的所有专业的集合，其中对应法则是：A中元素对应B中自己所学专业.

设A是绵阳师范学院毕业的所有大学生组成的集合，B是学校设立过的所有专业的集合，其中对应法则是：A中元素对应B中自己首次所学专业.

通过例题的分析和启发，学生会直观地发现原来映射定义中所说的A中任何元素与B中唯一元素对应的实质.

例3 等价关系是指满足反身性、对称性、传递性的一种关系，在掌握定义时，学生曾反映有迷惑，在教学中，可以采用举身边的例子让学生认识到其实抽象的概念也是很具体的.

如假设全班同学没有人住混合寝室，两名同学A与B有关系是指住在同一个寝室，学生很容易判断任意两名同学要么在同一个寝室，要么不在一寝室，所以首先是一种关系，另外，自己住在一个寝室；A与B在一个寝室，B与A也在一个寝室；A与B在一个寝室，B与C在一个寝室，那肯定A也与C在一个寝室，这样，反身性、对称性、传递性的证明就变得简单生动了，学生也会感觉在一种愉快有趣的场景中深刻理解了定义.

另外，集合的一种等价关系会做出一种集合的分类，一种集合的分类方法会决定一个等价关系，在实际教学中，学生会觉得这个结论似懂非懂，用刚才的例子也能轻松解决这个问题，只需要把关系定义为A与B有关系当且仅当住在同一个寝室，这时对应的分类就是全班同学被分成了多个寝室的并集，而这些寝室之间没有交集.

3.举学科前沿的例子

在讲授环论时，经常会涉及一类重要的环类，即高斯数环，如果只是告诉学生高斯数环的定义，学生会觉得很突然，为什么取那样的元素出来？对于普通数的加法和乘法，就构成一个环，理解它构成环后，这个环有什么作用，是凭空想象出来的吗？这里可以跟学生讲讲高斯如何解决二平方和问题.

所谓二平方和问题，是指哪些正整数n可表示成两个整数的平方和，即方程x2+y2=n是否有整数解？我们知道，多项式x2+y2在整数范围内是不可约的，高斯的第一个想法是把整数范围扩大，加入复数i=-1，则多项式x2+y2=（x+yi）（x-yi）分解成两个一次多项式的乘积，从而方程x2+y2=n变成（x+yi）（x-yi）=n，这就是说，n可表示成整数的二平方和当且仅当n是复数x+yi和它的共轭复数x-yi的乘积，其中均是整数.而这样的复数x+yi，（x，y∈Z）现在被称为高斯整数，由这样的高斯整数做成的集合关于普通数的加法和乘法做成一个环，而且是交换环，这就是高斯数环.

学生会发现原来高斯数环不是横空出世，是为了探究二平方和问题而制造的一个工具，让学生了解学科前沿的同时，会有不是为了学习而学习，而是为了解决问题而学习的体会.

4.用例子解释定义和定理

凯莱定理告诉我们，任何一个群都会与一个变换群同构，这似乎揭示了，如果把变换群搞清楚了，所有群类都清楚了.变换群是一类比较抽象的群类，同时也是教学和学习中的重点和难点，难点在于这个群里面的元素是变换.在讲授这个定义之前，不妨先举出例子：

例4 设集合M={1，2}，M的全部变换如下：

τ1：1→1，2→1；τ2：1→2，2→2；τ3：1→2，2→1；ε：1→1，2→2.

问：（1）T（M）={τ1，τ2，τ3，ε}关于变换乘积是否做成群？

（2）S（M）={τ3，ε}关于变换乘积是否做成群？

通过和学生们一起分析，能看到T（M）关于变换乘积不做成群，而S（M）关于变换乘积做成群.在解题的同时，学生会对元素为变换的群有一个具体的认识，原来这就是变换群.然后再给出变换群的定义.

5.把定理回归应用到例子

大到学习一门学科，小到学习某个结论，学生们常会有这样的疑问：学了它有什么用？在前面所讲到的用例子让学生对定义、定理有更深认识的前提下，如果能够在辛苦地证完一个定理后，马上给学生展示这个结论会给我们的研究学习带来什么样的用处和好处，可以大大提高学习的积极性，在例题的选择上就要求有针对性.下面用一个案例来说明这种方法.

研究一个对象可以有两条途径，一是从局部到整体，研究一部分元素的性质，再联系到整个对象的性质；二是建立对象与对象之间的联系.在群论中，同态和同构就建立起代数系统之间的关系，在同态下很多代数性质可以传递，在同构下，两个代数系统可以看成是同一个系统.

结束语

韩愈的《师说》曰：“师者，所以传道授业解惑也”，是指教育的综合的过程：传道，授业，解惑，三个并列而行.作为当今教师，对授业要求更高，特别是数学老师，不仅要教会知识，还要做到让学生知道知识体系的来龙去脉，“抽象代数”比较注重逻辑思维，在思路上、技巧上都和通常的认知有所不同，这需要教师花更多的精力思考如何把教学内容变得生动，如何提高学生的学习积极性，注重思维培养，不只是教会学生做题.这将是教育工作者们长期思考和探究的课题.

【参考文献】

[1]徐德余，唐再良，等.近世代数[M].成都：四川大学出版社，2006.

[2]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]顾沛.“抽象代数”教学中的素质教育[J].大学数学，2006，22（3）：9-13.